Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В простейшем случае, когда т„ и хр не зависят от п и р, интегрирование уравнений (2.5) дает
бп = gnхп — С ехр (— tfxn)
и такое же выражение для концентрации неравновесных дырок 8р. Здесь С—постоянная интегрирования, определяемая начальными условиями. Так, если вначале полупроводник находился в термодинамическом равновесии и затем в момент времени / = 0 было включено внешнее воздействие, мы имеем t = 0, б/г = 0. Это дает
с = gn^n = (6«)s, бп = (бn)s [1 — ехр (— //т„)]. (2.7а)
Если в некоторый момент времени t = tx генерация выключается, то для t ^ tlt gn — 0, а начальное условие есть t = tlt бп = (б/г)х. Тогда
С= — (бп^ехр —, дп = (6п)1ехр {—(t—t^/Xn). (2.76)
При постоянном хп установление избыточной концентрации электронов и ее исчезновение описываются экспоненциальным законом, а среднее время жизни х„ есть время, в течение которого концентрация неравновесных электронов изменяется в е раз. То же справедливо и для неравновесных дырок.
УРАВНЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ
247
В общем случае т„ и тр, изменяющихся вместе с п и р, соотношения (2.3) определяют мгновенные времена жизни. Величины 1/т„ п 1/Тр в этом случае дают вероятности рекомбинации одной частицы в единицу времени при данных значениях п и р, а т„ и тр определяют времена, за которые неравновесные концентрации электронов или, соответственно, дырок изменились бы в е раз, если бы вероятность их рекомбинации сохранялась постоянной и равной данному мгновенному значению.
§ 3. Уравнения непрерывности
Если в полупроводнике имеются электрические токи, то изменение концентрации носителей определяется не только генерацией и рекомбинацией, но и движением частиц. Вклад последнего легко найти, рассматривая элементарный объем, например, в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными прямоугольным осям координат, и вычисляя втекающие и вытекающие из него потоки частиц. Это дает
Здесь' jp и j„— плотности конвекционного тока, обусловленного движением дырок и, соответственно, электронов:
jp = OpS-eDp VP. °p = Wp. (3.1)
j n = an^ + eDnVn, ¦ ап = епцп, (3.2)
Поэтому полные темпы изменения концентраций в зонах выражаются уравнениями
d? = gp~Tdiyjp-^. §? = *»+TdivJ»-b М
Уравнения (3.3) — это уравнения непрерывности, записанные порознь для дырок и электронов.
При нарушении термодинамического равновесия изменяются также концентрации связанных дырок pt (т. е. концентрация положительно заряженных доноров) и связанных электронов щ (концентрация отрицательно заряженных акцепторов). Поэтому в общем случае возникает объемный заряд с плотностью
р =e(p + pt-n-nt).
Электрическое поле ?, входящее в выражения для плотностей тока (3.1) и (3.2), определяется уравнением Пуассона
divS = — (p + pt-n-tit) (3.4)
С
248
НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ
[ГЛ. V1J
и граничными условиями. Величины р и п, с одной стороны, и pt и п(, с другой стороны, не являются независимыми, а связаны уравнениями кинетики рекомбинации, которые будут нами рассмотрены в гл. IX. Система уравнений (3.1) — (3.4) совместно с рекомбинационными уравнениями полностью определяет изменение избыточных концентраций носителей заряда в пространстве и времени. Однако уже сейчас мы рассмотрим некоторые выводы, которые могут быть получены без детального разбора процессов рекомбинации.
Прежде всего отметим, что уравнения (3.3) дают для суммарных величин р и j уравнение'непрерывности в его обычной форме, которой, в частности, мы пользовались в гл. VI. Для этого учтем очевидное равенство
(3-5)
которое справедливо при любом типе процессов рекомбинации. Тогда, вычитая друг из друга уравнения (3.3) и учитывая (3.5), получаем
Э?= — div |, (3.6)
что для одномерного случая совпадает с уравнением (VI. 6.3).
Далее, укажем, что во многих важных случаях использование уравнения Пуассона (3.4) оказывается излишним. Это связано с тем, что при релаксации неравновесных электронных состояний существуют два различных процесса. Когда в полупроводнике нарушается термодинамическое равновесие, в нем возникают токи диффузии и дрейфа, стремящиеся уничтожить изменения объемного заряда. В случае неоднородного полупроводника или приповерхностного слоя в результате появления этих токов восстанавливается равновесное распределение объемного заряда, при котором ток диффузии уравновешивается током дрейфа. В однородном полупроводнике эти токи стремятся обратить объемный заряд в нуль. При неизменных связанных зарядах в зонах установилось бы диффузионно-дрейфовое равновесие, характеризуемое определенным распределением носителей заряда в образце. Если скорости дрейфа носителей заряда не слишком велики, так что время их пролета через образец /пр >> т,и = в/4 л с, то в подавляющей части объема однородного образца объемный заряд успеет обратиться в нуль. При этом и токи, ограниченные объемным зарядом, не имеют места (ср. условие (VI. 10.11)). Быстрота установления диффузионно-дрейфового равновесия в этом случае определяется максвелловским временем релаксации хм. Однако для установления полного термодинамического равновесия необходимо еще равновесие между электронами в зоне проводимости, дырками в валентной зоне и зарядами, связанными на ловушках. Быстрота установления такого рекомбинацион* ного равновесия определяется временами жизни т„ и тр.