Физика. Задачи для поступающих в вузы - Бендриков Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
«I их движение происходит по этим прямым. Ввиду симметрии их скорости одинаковы по модулю и
Рис. 268
С
составляют с направлением движения большого шара одинаковые углы а (рис. 268). Большой же шар сохраняет свое направление движения.
Запишем закон сохранения импульса для проек-
Mv{) = Mv + 2ти cos а,
Mv} Mv2 2 mu2 -----У_ =-------+--------
2 2 2
(1)
2
M{v{) -v) = 2mu cos а, М(щ -v2) = 2mu2.
(2)
Возведем первое из уравнений (2) в квадрат и поделим на второе: M(v0 - v) / (vQ + v) = 2m cos2 a.
(3)
v = v0(M - 2m cos2 a) / (M + 2m cos2 a).
250
этой прямой и перпендикулярное к ней, а также закон сохранения энергии:
mvо cos осц = mv cos а + ти,
ти0 sin oty = mv sin а, (1)
mv0/2 = mv2/2 + ти2 j 2,
(2)
где т - масса каждого шара. Сократим уравнения (1) на т, возведем каждое из них в квадрат и сложим:
V2 + 2vu cos а + и2.
2 U0 ¦
(3)
Сократив (2) на т/2 и вычтя полученное выражение из (3), получим 2vu cos а = 0; отсюда имеем cos а = 0, т.е. а = 71/2.
249. Пусть скорость второго шара до удара v t > 0. Тогда скорость второго шара до удара v2 < 0. Учитывая знаки vt и v2, найдем из формул, полученных в задаче 242, скорости первого и второго шаров после удара:
(/л,-m2)vt +2m2v2 (т2 - mx)v 2+2mtv t
v\ = -------------------, v2 = -------------------.
/я, +m2 /я, + m2
Так как пц > т2, то v2 > 0 в любом случае. Для выполнения требования v\ >0 необходимо,чтобы
ipi\ -m2)v | >2m2v2, илит,/т2- 1 >2v2/v\.
С другой стороны, согласно условию задачи .2 ...........................2
т1и1 =1.2>П2У2
(1)
Следовательно,
т,\
отсюда
1±л1к2+1
Так как после учета знаков скоростей везде подразумеваются их модули, то из (1) следует, что л/ тх/т2 > 0. Поэтому решение неравенства со знаком минус следует отбросить. Таким образом,
viiv\ > (1 +^1 к2+ 1 )/к2.
Учитывая, что /и, > т2, из формулы (1) имеем
v2/vx > 1/к.
(2)
(3)
Из неравенств (2) и (3) следует взять неравенство (2), как более сильное (числитель в правой его части больше к, и, следовательно, правая часть больше 1/к). При к = 4/3 получим v2/V\ > 3/2.
251
250. h = 41пц / (nt] + m2) = 12,5 см.
2
251. Шарики соударяются на высоте h = 3v0/8^; первый шарик подни-
2
мается на высоту Н = vf)/2g.
252. Полная энергия в первый момент после взрыва
2 2 Е = (пц + m2)gh + т \VH)/2 + m2u2{-J2,
где ujq и иго — скорости осколков в этот момент. Так как взрыв протекал очень быстро, то импульсом силы тяжести за время взрыва можно пренебречь и для нахождения соотношения между скоростями осколков в первый момент после взрыва можно применить закон сохранения импульса: пц v к, + т2и2п = 0. Решая систему этих двух уравнений, найдем
U т2 Е-(щ1+ т2 )gh _ |0 пц Е - (от, + пг7 )gh
vio -~Л1 ; > у2о —л1 ; •
у mt пц + т2 \j т2 тл + т2
Искомые скорости осколков будут
v 1 = и ю — 8* ~ -164 м/с, v2 = v го - gt ~ 245 м/с.
§ 8. Динамика вращательного движения
253.а = 2агсс<* MJSL^L.
2{M + m)4il
254. п > — -0,16 об/с.
2л v R
255. t = — 1^- = 1 мин.
со v R
256. к - v2!Rg~ 0,2.
257. А = 2%2R2m{n2 - п]) = 15,8 Дж.
258. F/mg = (i)2D/2g = 40.
259. В вершине петли на пилота действуют сила тяжести mg и сила реакции N со стороны кресла, направленная вниз (рис. 270а), или со стороны ремней, направленная вверх (рис. 270б). Эти силы сообщают необходимое для вращения центростремительное ускорение. Следовательно, в общем случае
mv2/R = mg + N.
При достаточно большой скорости самолета mv2/R > mg и N > 0, т.е. N направлена в ту же сторону, что и сила тяжести, и, следовательно, пилот будет прижат к креслу (рис. 270а). При mv2 /R = mg пилот перестает давить на кресло. Наконец, при настолько малой скорости, что mv2/R < mg, сила N < 0. В этом случае пилот повисает на ремнях и сила N
252
будет направлена вверх (рис. 2706). Таким образом, минимальная скорость определяется неравенством v2/R з* g; отсюда и з* л[^И ~ 180 км/ч.
260. х =? 2ir[Ug = 3,14 с.
261. F = (2яп)г (1{т, - /2^2).
262. Силы, действующие на автомобиль вдоль радиуса моста, изображены на рис. 271: mg - сила тяжести, N - сила реакции моста. По третьему закону Ньютона искомая сила давления F равна по модулю силе реакции
а б
моста N. Согласно второму закону Ньютона центростремительное ускорение автомобиля определяется суммой сил, действующих на него вдоль радиуса окружности, по которой он движется:
mv2 /R = mg - N; отсюда F = N = mg - mv2/R = 7,8 кН.
2
Сила давления на мост станет равной нулю при mvm]n/R = mg.
Следовательно, ymin = лfgR ~ 80 км/ч. При скорости, превышающей ymjn, автомобиль не будет оказывать давление на мост.
263. В отличие от задачи 262, здесь к центру окружности, по которой происходит движение автомобиля, направлена сила реакции моста N, а не сила тяжести mg (рис. 272). Согласно второму закону Ньютона mv2 /R = N - mg. Искомая сила
F = N = mg + mv2/R ~ 21,6 кН.
253
264. Вдоль радиуса моста на автомобиль действуют сила реакции моста N и проекция силы тяжести mg cos а (рис. 273). Согласно второму закону Ньютона искомая сила
F = N = mg cos a - mv2/R.
Она достигнет максимума при а = 0.
265. Максимальная сила давления на мост будет в верхней точке моста (см. задачу 264). Минимально допустимую скорость v можно найти из
