Физика. Задачи для поступающих в вузы - Бендриков Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Сила натяжения нити Т = nig!cos a ~ 137 Н.
282. Пока тело не покинуло поверхность полусферы, на него, кроме силы тяжести mg, действует еще сила реакции опоры N (рис. 282). Второй закон Ньютона для движения по полусфере имеет вид
mu2/R = mg cos a - N,
т.е. произведение массы тела на центростремительное ускорение равно сумме проекций на радиус полусферы сил, действующих на тело (угол a определяет положение тела на полусфере).
В момент, когда сила реакции опоры N делается равной нулю, тело отрывается от полусферы. Соответствующий угол а находим из уравнения m и 2/R = mg cos а. Используя закон сохранения энергии, можно записать
mgR = mv2!2 + mgR cos a.
Следовательно, 2(1 - cos a) = cos a; отсюда cos a = 2/3. Искомая высота h = R cos a = 2/?/3.
283. Согласно третьему закону Ньютона сила давления F колечка на большое кольцо равна по модулю силе реакции N со стороны большого
кольца: F = N = mg( 1 - 3h/R). При h < R/3 сила давления колечка напра-
влена к центру большого кольца, а при h > R/3 - от центра.
257
284. Тело отрывается от поверхности петли в точке В (рис. 283), когда сила реакции со стороны поверхности петли становится равной нулю и
центростремительной силой является проекция mg cos а силы тяжести mg на радиус. Следовательно, как и в задаче 282, здесь должны выполняться второй закон Ньютона и закон сохранения энергии:
mv 2/R = mg cos a, mgH0 = mv 2/2 + mgh.
Учитывая, что h = R( 1 + cos a), из этих уравнений находим, что cos a = 2/3, т.е. h = 5R/3.
Чтобы тело не оторвалось от петли в ее верхней точке, когда a = 0 и h = 2R. исходные уравнения должны иметь вид
mv 2/R = mg, mgH = mv 2/2 + 2mgR.
Из этих уравнений получим Н = 5R/2.
285. На велосипедиста и велосипед действуют: сила тяжести mg, сила реакции поверхности земли N и сила трения /(рис. 284) Так как центр масс не перемещается по вертикали, то N - mg = 0. Необходимое для
движения по окружности центростремительное ускорение сообщается силой трения: mv2/R =/'. Массу системы велосипедист-велосипед будем считать сосредоточенной в центре масс. Тогда направление результирующей силы N + / совпадает с направлением вдоль велосипеда к центру масс системы велосипедист-велосипед. Поэтому /'= N ctg a = mg ctg a.
Подставляя это значение/в уравнение движения, найдем v = ^JgRctga.
286. Силы, действующие на велосипед с велосипедистом, изображены на рис. 285. Так как можно считать, что момент сил относительно центра масс велосипеда с велосипедистом равен нулю, то сила трения отсутствует. Равенство нулю суммы проекций сил на вертикальное направление дает уравнение /V cos a = mg, откуда N = mg/cos а. По третьему закону Ньютона с такой же по модулю силой велосипед будет давить на дорогу.
258
Центростремительное ускорение сообщается проекцией силы реакции полотна дороги N на горизонтальное направление:
mv2 / R = Nsma = wgtga; отсюда v = Л/ Rg tg a.
287. a = arctg (Rg/u2).
§ 9. Закон всемирного тяготения
288. F = 2 • 1020 H.
289. Человек прыгает на Луне в 6 раз выше и дальше, чем на Земле.
290. v = ^jRftg/б «=1,7 км/с.
291. На mg/4.
292. gn =,
т г
'/О2
293. gc — gRc рс//?зрз ~ 270 м/с2.
294. А = ти2/2 = mgR/2 = 16 ГДж.
295. T = ^2n2r3 /ут = 1,57-106 с.
296. р = 3v2rc/4nyR?l « 0,5 • 103 кг/м3.
297. Г:
:2л1*3-
Утз
]+-
R
з
Учитывая, что g ~ ym3/R3, и пре-
небрегая квадратом и кубом отношения h/R 3, = 2Яд/R3/ g + 3h/g .
найдем Т
298. 7 = 4Яд/2/?3 /g«= 3 ч 58 мин.
299. rc =\jgR2T2 / 4k2 ~ 42400 км.
300. Г = 2Лд/гл /#/?з ~ 27 сут.
301. На тело, подвешенное к динамометру, действуют сила тяжести mg и сила натяжения Г пружины динамометра (рис. 286). Обе силы направлены вдоль радиуса планеты. На экваторе тело движется по окружности со скоростью и = 2nR/x, где R - радиус планеты. Разность сил mg - Т сообщает телу центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона
mu 2/R = 4n2mR/x2 = mg - Т.
По условию задачи Т = 0,9mg. Сила тяжести у поверхности планеты mg = myM/R2, где М - ее масса.
'mg
Рис. 286
259
Искомую плотность р = можно найти, подставив в уравнение
движения выражения для сил mg и Т: р = Зл/0,1ут2 ~ 3,03 • 103 кг/м3.
§ 10. Гидро- и аэромеханика
302. Не изменится.
303. р = pvgiW/nD2 - А) = 1,2 кПа.
304. h=R.
305. Давление (в мм рт. ст.) вычисляют по формуле р = р0 - ра//р, где р = 13,6 • 103 кг/м3 - плотность ртути, а / выражено в миллиметрах. Искомое давление р = 752,6 мм рт. ст.
306. Давление в любой точке сосуда с жидкостью согласно закону Паскаля зависит только от высоты. На границе раздела масла с водой у открытого конца сосуда давление воды будет ргр = /;0 + р()gH. С другой стороны разность давлений масла внутри сосуда между точкой А и границей раздела масла с водой определяется высотой столба масла: Ргр~Р = Рgb отсюдар=р0 + giPifl- рА) = 120,6 кПа.
307. А0 = рА/ро = 18 см.
308. А = 2р„//(3р - р0).
309. h = (m + poV0/2pS.
310. F =fh/H = 10 кН.
311. S/s = mghn/A = 490.
312. Искомое давление p = + pgh2, где !ц и Л2 - высоты столбов
воды и ртути (рис. 287). Согласно условию задачи Н = h\ + I12 и РоА^ = PI12S, где S - площадь поперечного сечения сосуда. Решив полученную систему
