Физика. Задачи для поступающих в вузы - Бендриков Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Ввиду кратковременности удара сила сопротивления грунта не может за время удара заметно изменить импульс системы. Так как удар неупругий,то
mvi = (m + M)v2, (2)
где v 2 - скорость груза и сваи после удара. Разность конечной энергии
груза и сваи (потенциальной энергии на глубине h) и их начальной
'//////////, В
Рис. 267
247
энергии (кинетической энергии сразу после удара) равна работе силы сопротивления грунта:
(т + M)gh - (т + М)ь1/2 = Fh. (3)
Из соотношений (1)-(3) найдем
h = m2(2gH + v2)/2g(m + M)(mg + Mg - F) = -0,6 м.
Здесь F > mg + Mg. В противном случае (F < mg + Mg) свая безостановочно погружалась бы в грунт, даже если бы груз был помещен на нее без всякого удара, а при F > Mg погружение сваи происходило бы и в отсутствие груза.
Время между двумя последовательными ударами будет не меньше
t. = H/v + v/g + V 2gH + v2/g.
Частота ударов не должна превышать
п = 60vgl(Hg + v2 + v V2gH + v2 ) ~ 13 мин-1.
227. А = mgh + mv^/2 - тщ!2 ~ 81 МДж.
228. а « 60°.
229. h = (uq sin а)2/2g + т 2v2/2М2g.
230. К = U = mg21218 = 5 Дж.
231. v = 4^2gh/3 = 16,2 м/с.
232. h = v2/2g(l + k ctg a).
233. s = h(l - к ctg а)/к. При к > tg а санки останутся на месте.
234. U3-U2 = mgl; U2-Ux= mgU 2; U?-Ux= 3mgl/2.
235. A = S pgh2 / 2 = 1,96 МДж.
236. Пусть потенциальная энергия цепочки, лежащей на столе, равна нулю. Тогда в момент, когда будет свешиваться часть цепочки, имеющая длину х, ее потенциальная энергия будет равна произведению силы тяжести mgxll, действующей на свешивающуюся часть, и расстояния - х/2 (цепочка однородна, и центр масс свешивающейся части находится на расстоянии х!2 ниже края стола). Здесь т - масса цепочки. На основании закона сохранения энергии имеем (пренебрегая потенциальной энергией части цепочки, свешивающейся в начальный момент)
mv2!2 - mgx2/21 = 0; отсюда и = WgH-
237. Центр масс воды в колодце находится на расстоянии З/г/4 от поверхности земли. Поэтому на подъем воды из колодца затрачивается работа
3 h ch3h Зр gSh2
A, =mg— = 0gS---------= —------,
1 8 4 И 2 4 8
где р - плотность воды. Кроме того, насос сообщает воде некоторую кинетическую энергию, так как из трубы вода вытекает с определенной
248
скоростью v, которую можно найти из соотношения Shi2 = nR2 vt. Дополнительная работа
Л 2 = mv2 /2 = р S43 / 16л 2RAt2.
Полная работа
А = 3 pgSh2 / 8 + рS43 / 16л2R4t2.
238. К = m2v2 /2{т + М)~ 1,8 мДж.
239. Согласно закону сохранения импульса mv0 = mv + Ми, где v и и -скорости пули и шара в первый момент после пробивания шара пулей. Закон сохранения энергии дает два уравнения:
mgh = mv2 / 2, MgH = Ми2 / 2.
Исключая из этих уравнений v и и, найдем
h = (mv0 — М л12gH)2 / 2m2g.
240. К = mv2 / 10 = 0,2 Дж.
241. U = kmgAl.
242. На основании законов сохранения импульса и энергии имеем
ni\V, + m2v2 = ni\v\ + т2 v'2 ,
mxvl / 2 + m2v\ / 2 = mxv/ 2 +m2v'\l 2,
где v j и v2 — скорости шаров после соударения. Для решения этой системы уравнений удобно в обоих уравнениях по одну сторону знака равенства объединить величины, относящиеся к первому шару, а по другую -ко второму, после чего разделить второе уравнение на первое. В результате получится уравнение первой степени: v,+ v\ =v2 + v2. Решая это уравнение совместно с первым, получим
(те, -m2)vx +2m2v2 {m2—m])v2+2mlv]
v't =---------------------, v2 =-----------------------.
W] +m2 W] + m2
243. t = 2Uv.
244. На основании законов сохранения импульса и энергии имеем
mu = Mv, mgh = mu2/2 + Mv2/2,
где и и v - скорости бруска и клина после того, как брусок соскользнет на горизонтальную плоскость. Решение этих уравнений дает
v = wv 2gli/(m + М)М.
245. При абсолютно упругом соударении двух одинаковых шаров происходит обмен скоростями. Движущийся шар останавливается, а покоящийся приобретает его скорость. Это непосредственно вытекает из
249
выражений для скоростей шаров после соударения, полученных в задаче 242:
При гп\ = т2 и v2 = 0 будем иметь v\ =0, av2 = vt. Поэтому после ряда последовательных соударений все шары будут покоиться, кроме последнего шара, который приобретет скорость и = 10 м/с.
246. Шар А получит скорость и = -и 0/5, а шары В и С - скорости и = 2л/зу0/5.
247. В момент соударения на маленькие шары действуют силы, направ-
ций на направление движения большого шара и закон сохранения энергии:
где М и т - массы большого и маленького шаров, a v и и - их скорости после соударения. Преобразуем выражения (1) к виду
При делении отброшен случай и= и0, когда скорость большого шара не изменяется, т.е. соударения не происходит. Из уравнения (3) имеем
Рассматривая треугольник ВАС, получим cos2 а = 8/9. Учитывая также, что М = 8т, находим окончательно и = lV(J\ 1.
248. После соударения второй шар со скоростью и будет двигаться по прямой, соединяющей центры шаров в момент соударения (см. задачу 247), а первый - со скоростью v под углом а к ней (рис. 269). Запишем закон сохранения импульса для проекций на направления, параллельное
и
(W| -m2)v\ +2т2и2
(т2 -т])и2 +2т^и
W| + т2
В
ленные вдоль прямых, соединяющих их центры с центром большого шара. Поэтому после соударения
