Физика. Задачи для поступающих в вузы - Бендриков Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
193. При определении положения центра масс диск с вырезом формально можно рассматривать как сплошной диск массы тъ на который наложен диск радиуса г, имеющий отрицательную массу -т2, равную по
Рис. 259
Рис. 260
Зш|(г sin а)/8 - m2r cos а = 0; отсюда tg а = Зиь/З^г,.
Рис. 261
Рис. 262
модулю массе вырезанной части. Из соображений симметрии очевидно, что центр масс диска (точка С на рис. 262) лежит на продолжении прямой
О А, соединяющей центры диска и выреза. Равенство моментов сил
тяжести, действующих на положительную и отрицательную массы, относительно оси, проходящей через точку С, дает (х = ОС)
ni\gx = m2g{x + R/2).
Учитывая, что т] = kR2o и т2 = кг2о, где а - масса единицы площади диска, находим искомое расстояние: х = r2R/2{R2 - г2).
194. Из соображений симметрии очевидно, что в вершинах, соответствующих равным углам, на плиту со стороны несущих ее людей
Рис. 263
V///////////////////////////,
mg Рис. 264
действуют одинаковые силы, т.е. N2 = Nj. Центр масс треугольника лежит на пересечении его медиан (точка С на рис. 263). Равенство нулю суммы моментов сил относительно оси 00', проходящей через центр масс плиты параллельно основанию BD, дает
N2h/3 + N3h/3 - 2/У,Л/3 = 0.
Здесь учтено, что в равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, совпадает с медианой, а точка пересечения медиан отстоит от основания треугольника на 1/3 длины медианы.
Из этого уравнения следует, что /V] = N2 = N3. Так как при равновесии сумма сил, действующих на плиту, равна нулю, то /V | + + N2 + N3 - mg = 0, т.е.
/V] = N2 = /V3 = mg/3 = ahdpg/6 = 176,4 Н.
Согласно третьему закону Ньютона силы /V|, N2 и /V3 равны по модулю искомым силам.
. , а т2 - т,
195. I = —т= —------- = 17,3 см.
2л] 3 т.2
196. Стержень остается в горизонтальном положении, если удлинения пружин одинаковы. В этом случае на стержень со стороны пружин будут действовать силы F\ = ktx и F2 = к2х, где х - удлинение пружины (рис. 264). Точка О прикрепления груза определяется равенством моментов сил Fx и F2 относительно оси, проходящей через эту точку: F^a = F2(d - а), где а -расстояние от точки О до пружины с жесткостью к j; отсюда искомое расстояние а = dk^/ik^ + к2) = 0,6 м.
245
197. Д/ = 3mgl/2nt'2E = 0,38 мм.
198. Действующие на точку D силы изображены на рис. 265: mg — сила тяжести, действующая на груз, N - силы реакции стержней друг на друга, сжимающие стержни. Из соображений симметрии очевидно, что стержни AD и BD сжаты одинаково. Спроецировав силы на направление высоты DE пирамиды ABCD и приравняв нулю сумму проекций сил, получим уравнение Т cos а - 2N cos а = 0, где а - угол между любым из ребер
Рис. 265
Рис. 266
пирамиды и ее высотой DE (равенство углов между ребрами пирамиды и высотой DE вытекает из равенства прямоугольных треугольников CDE, ADE и BDE).
Теперь найдем проекции всех сил на вертикальную плоскость, перпендикулярную к высоте DE (рис. 266). Имеем Т„ = Т sin a, N„ = = N sin а, где sin а = СЕН. Угол (3, равный углу AEF, определяется соотношением cos (3 = (h - СЕ)/АЕ = (h - СЕ)/СЕ. Сумма проекций всех сил на вертикаль CF равна нулю.
mg — Т sin а - 2N sin а cos (3 = 0.
Учитывая, что Т = 2N, и подставляя выражения для углов а и (3, получим Т = Imglh, N = lmg/2h.
§ 7. Закон сохранения энергии
199. /2 = 4/, = 60 см.
2
200. F = m(v2 - Ц)) / 2d = -25 кН; знак минус указывает на то, что сила F направлена против скорости пули.
201. и = tJ(u0 +и)2 -2Fdl m - и.
202. s = «г2У2/2(ш, + m2)2 kg = 50 м.
203. Работа силы F равна приращению кинетической энергии: Fx = К, где х - расстояние, пройденное телом за время t. Так как ускорение тела а = Flm постоянно, то х = Ft2/ 2т. Следовательно, К = (Ft)2/ т = 0,05 Дж.
246
204. F = mv2 /2s = 960 кН; сила торможения должна увеличиться в два раза.
205. А = (т + M)mv2/2M = 38,4 Дж.
206. W = mv3/41 = 160 кВт.
207. В 4 раза.
208. W = 4s2m/t3 = 200 кВт.
209. F = vy/!v = 32 кН.
210. а = W/mgv -к~ 0,007 рад.
211. V, = W/pghr] = 103 м3/с.
212. W = mgh/r\t = 20 кВт.
213. а = arcsin (W/mgv) ~ 17°.
214. W = (mgl sina) / rjr = 3,46 кВт.
215. v 3= V4gl = 1,98 м/с.
216. Потенциальная энергия шарика, отклоненного на угол а, U = mgh, где h = DC (рис. 267). Очевидно, что DC = BD - ВС = = /(1 - cosa) = / • 2sin2 (а/2). Следовательно, U = 2mgl sin2 (a/2). Максимальную скорость маятник будет иметь в положении D, когда вся потенциальная энергия его превратится в кинетическую: 2mgl sin2 (a/2) =
= mv2/2; отсюда скорость v = 2~4gl sin (a/2).
217. v = ^jvl-2gh.
218. К = mg2t2/2sih2 a ~ 58 Дж.
219. К = mg2t2/4 = 480 Дж.
220. К = mg2t2/2 =1,2 кДж.
221. A = mv]/2 - mv2!2 = 4987,5 Дж.
222. p = mg212 /2nd21 = 61 кПа.
223. h = v2 /4g = 61,25 м.
224. К = h(F - mg) = 98 Дж.
225. F = m[v2 + 2g(H + h)] / 2h « 26,9 кН.
226. Если принять за нулевой уровень потенциальную энергию груза на уровне головки сваи, то его энергия в момент удара будет равна полной энергии груза в тот момент, когда груз был отпущен:
Е - тщ /2 = mgH + mv2/2 = 22,5 кДж, (1)
где v | - скорость груза непосредственно перед ударом.
