Физика. Задачи для поступающих в вузы - Бендриков Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
N
выражения mg - F = mv21R, где т - масса грузовика. Следовательно, должно выполняться неравенство v 3= V R(mg - F)/m. Радиус кривизны моста определяется из треугольника АСО (рис. 274). По теореме Пифагора R2 = <i2/4 + (R - h)2\ отсюда радиус кривизны R = (Ah2 + d2)/%h. С учетом этого получим, что v & 40,6 км/ч.
266. Искомую скорость можно найти с помощью закона сохранения энергии. Если за нулевой уровень потенциальной энергии принять горизонтальную плоскость, проходящую через точку О, то начальная энергия грузов будет равна нулю. Поэтому будет равна нулю и полная конечная энергия грузов в тот момент, когда стержень займет вертикальное положение. Обозначив через т массу каждого из малых грузов, будем иметь
.2 т_,,2
mv
m(2v) 2mv
- + ——— +
I I
2 -mg--mgl + 2mg- = 0
(здесь учтено, что скорость малого груза на конце стержня вдвое больше скорости среднего груза); отсюда v = -Jgl/7.
267. Действующие на систему человек—трапеция силы изображены на рис. 275. Так как в нижней точке траектории человек имеет ускорение v2/l, направленное вверх, то согласно второму закону Ньютона
ту1- = 2Т — mg', отсюда 7=™^ ~ 500 Н.
I 21 2
254
268. Максимальную силу натяжения нить имеет в момент, когда шарик проходит через положение равновесия. Именно в этой точке скорость шарика максимальна, а сила натяжения направлена против силы тяжести (рис. 276). По второму закону Ньютона mv2/l =Т-mg, где / - длина нити, а Т - ее сила натяжения. Скорость v шарика найдем из закона сохранения энергии: mv2!2 = mgl. Исключая из этих двух уравнений v, имеем Т = 3mg.
Рис. 276
Рис. 277
269. Уравнения движения для грузика в верхней и нижней точках траектории запишутся в виде (рис. 277)
отю2/ = mg + Т\, m<a2l = Т2 — mg, где со = 2тш - угловая скорость вращения; отсюда
Тх = m(02l - mg = 31,35 Н,
Т2 = т(Л21 + mg «= 31,75 Н.
270. а) Т2 - Тх = 2mg', б)Т2-Тх = 6mg; здесь Тг и Т2 - силы натяжения штанги при положении тела вверху и внизу.
271. Второй закон Ньютона в момент, когда шарик проходит положение равновесия, можно записать в виде mv2/l = T -mg (рис. 278). Скорость шарика в нижней точке траектории можно найти из закона сохранения энергии: mv2/2 = mgl(l - cos а). Нить оборвется, если
У/////Л
Т > 2mg. Следовательно, cos а < 1/2, т.е. а > 60°.
272. cos а = 1 - (/ - а)(Т- mg)/2mgl.
273. m\/m2 = 3, так как ось должна проходить через центр масс системы.
274. со = Jgl(R-h).
275. Груз массы пгх должен находиться на расстоянии х2 = m2l/(m\ + m2) от оси вращения; Т = тхт21(й21(т\ + т2).
276. Мальчик движется в горизонтальной плоскости по окружности радиуса R = I sin а, где а - угол между канатом и вертикалью (рис. 279). Центростремительной силой, действующей на мальчика, является проекция F = Т sin а силы натяжения Т каната на направление радиуса (проекция силы тяжести, действую-
255
щей на мальчика, на это направление равна нулю). Учитывая, это угловая скорость мальчика со = 2ппу запишем второй закон Ньютона для движения по окружности:
maP-R = F, или 4n2n2ml sin а = Т sin а;
отсюда Т = 4п2п2т! ~ 355 Н.
277. Центростремительной силой, действующей на камень, является проекция F = Т sin а силы натяжения веревки Т на направление радиуса
(рис. 279), где а-угол, который веревка составляет с вертикалью. Второй закон Ньютона для движения камня по окружности радиуса R будет иметь вид
отсо2/? = Т sin а, (1)
где со = 2л/т - угловая скорость камня, а от-его масса. Так как в вертикальном направлении ускорения у камня нет, то проекции на вертикаль сил, действующих на него, равны по модулю и противоположны по знаку, т.е.
Тcos а = mg. (2)
Разделив (1) и (2), получим tg а = со2R/g. Учитывая, что R = h tg а и, следовательно, aP-h/g = 1, получим со = ~Jg/h и т = 2n~Jh/g = 2,25 с.
278. Т = mg~j5 (см. задачи 276 и 277).
279. На шарик действуют сила тяжести mg и сила натяжения Т
нити (рис. 280). Движение его относительно Земли складывается из движения по вертикали вместе с лифтом и обращения вокруг оси АО.
Запишем второй закон Ньютона для проекций на вертикальное направление и на направление радиуса ОВ окружности, описываемой шариком:
та = mg-T cos а, от со2/ sin а = Т sin а,
256
где ю— угловая скорость шарика, пг — его масса. Исключая из этих уравнений Т, получим ю2/ = (g - а)!cos а; отсюда
х = 2л: / со = 2n^lcosa/(g-a).
280. /0 = ¦
(2лл) ml - F
-8-
(2nn)2(mg - F cos а)'
281. Силы, действующие на шар, изображены на рис. 281: Т - сила натяжения нити, mg — сила тяжести (центр окружности, по которой движется вагон, справа от вагона). Центростремительной силой для шара является проекция силы натяжения Т на направление радиуса (проекция силы тяжести на это направление равна нулю). Второй закон Ньютона для движения по окружности в этом случае
можно записать в виде mv2/R = Т sin а. В вертикальном направлении ускорения у шара нет; поэтому проекции на вертикаль сил, действующих на шар, равны по модулю и противоположны по направлению, т.е. mg = Т cos а. Разделив первое уравнение на второе, получим
v2 / Rg = tg а, откуда v = ^Rg tga = 112 км/ч.
