Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Систему уравнений (3.16), (3.17) и (3.18) вместе с граничными условиями можно решить непосредственно. Ho чтобы использовать решение в многогрупповом диффузионном приближении, рассматриваемом в гл. 4
xk+ 1/2
xIt- I /2
xk+ 1 /2
3.2.3. РЕШЕНИЕ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Р|-ПРИБЛИЖЕНИЯ
107
удобно решить уравнения (3.17) и (3.18) относительно Jh+ц.2 и Jk-H2 и подставить полученные результаты в уравнение (3.16). Тогда получим следующее соотношение:
ак, Ь-l Ф k-l + ah, k Ф k k-rl Ф /t+І = sfe> (3.20)
где коэффициенты ак,к-1г ah,k ¦ и ak,k+1 определяются в виде
1
ak, k+i —
ah, k-l—
3oft + 1/2 Дй + 1/2
3oft — I /2 Дй— I /2
— Д/t-l, k<
ak, k — bok ak, k-l ak, Jfe+1’
a sk представляет собой член источника:
^l ,*+1/2 . Ql .ft — 1/2
sk — Qi
Oh'
За
’*+ 1/2
За
(3.21)
(3.22)
(3.23)
(3.24)
k- 1/2
Уравнение (3.20) можно вывести для k = 1, 2, ..., К—1, так что имеется К—1 уравнений ДЛЯ К + 1 неизвестных ПОТОКОВ нейтронов ф о, ф1г ф 2, ..., ф%. Недостающие два уравнения должны быть получены из граничных условий. Для границы с вакуумом (граничное условие свободной поверхности) удобно и достаточно точно для большинства расчетов в Рх-приближении просто положить ф0 = фк = Опа некоторых экстраполированных границах X0 и хк. При таких граничных условиях ф0 и фк можно исключить из системы уравнений (3.20) и значит сделать равным число неизвестных и число уравнений.
Если определить векторы ф и s, имеющие в качестве своих компонент значения {фк} и {sh}, как
Ф =
Фо ф 1 Ф 2
S =
ф
к
iK
а матрицу А с компонентами a n m в виде
A =
CL10 CL11 CL12
о
о о
о
о
#21 ^22 ^23
^32 ^33
о-кк
то уравнение (3.20) можно записать в матричном виде
А ф =s.
(3.25)
Напомним, что в этом уравнении А и s известны, а ф следует определить. Формально, если существует матрица, обратная А, т. е.А-1, такая, что произведение А-1 • А равно единичной матрице I, то уравнение (3.25) можно умножить на А-1 и решить его относительно ф, т. е.
~ф =A-1S. (3.26)
Следовательно, задача нахождения пространственного распределения потока нейтронов сводится к задаче обращения матрицы А.
108
Для рассматриваемого случая все значения ап т равны нулю, за исключением тех, для которых т = п—I, п, п + 1. Поэтому можно легко провести обращение матрицы. В данном случае можно, однако, использовать и более
прямые методы нахождения потока нейтронов </>. В качестве примера описан метод исключения Гаусса. Начиная рассмотрение с уравнения (3.20) для k — 1 и используя граничное условие ф0 = 0 (или какие-либо другие граничные условия, исключающие ф0), можно записать
ап фі 4" ^12Ф 2 = si> (3.27)
и, следовательно,
, —O12 Ф2 + sI
ф1 =----------- .
aH
Затем, рассматривая уравнение (3.20) для k = 2, находим, что
а2іфі + а22ф2 + а25ф 3 =- s2. (3.28)
Подставляя в уравнение (3.28) значение для фу, полученное в уравнении (3.27), решаем его относительно ф 2 через ф 3. Повторяя этот процесс, можно получить уравнение (3.20) для k = К — 1, и так как ф к = 0, то
ак— і ,/<-2 Фк —2 jraK-\ .к— і Фк — і = sK- і • (3.29)
Однако выражение для ф к-2 через фк-\ было получено из предыдущего (k = = К — 2) уравнения, поэтому уравнение (3.29) можно решить, получая явный вид фк-i-Цепочку уравнений затем можно пройти в обратную сторону,
находя другие значения фк. Можно показать, что, поскольку диагональные
элементы матрицы А больше, чем недиагональные, эта схема оказывается
устойчивой при численных расчетах [5]. Описанный метод часто называется методом прогонки [6]. Такое название объясняется тем, что для определения решений требуется проводить расчет в двух направлениях: один — в направлении возрастания х, а другой — в направлении убывания х.
Существенным моментом метода прогонки является то, что на каждом шаге уравнение, подобное (3.27), решается для отдельной компоненты ф k, которая имеет наибольший коэффициент, а также то, что ф k исключается из следующего уравнения. Если бы была принята обратная процедура, а именно если бы уравнение (3.27) решалось относительно ф2, выраженного через ф 1; а ф1 прогонялось через цепочку уравнений, то коэффициент перед ф j возрастал бы экспоненциально и мог стать настолько большим, что метод оказался бы неустойчивым относительно ошибок численного округления.
Решение в приведенном выше случае имело простой вид из-за того, что матрица А была трехдиагональной. Другими словами, в ней отличны от нуля только члены, расположенные по главной и по двум соседним с ней диагоналям. Однако, когда рассматривается неодномерная геометрия, то матрица становится более сложной и для ее обращения применяются другие методы, чаще всего итерационные, а не прямые. В этих методах используются некоторые общие свойства матрицы А, которые особенно наглядно проявляются в уже рассмотренном простом случае. В частности, из определений коэффициентов ah-h< аь, її+.і fCM- уравнения (3.21) — (3.23)] очевидно, что элементы матрицы А имеют следующие свойства: