Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Система комплексных чисел, рассматриваемая как алгебра над полем действительных чисел, < имеет своим базисом числа 1 и i. Но нары чисел 2 и Зг, 1 и а-\-Ьі(а, Ь — действительные, Ь=^= 0) также могут служить базисами.
Пусть S1, S2, — базис какой-нибудь алгебры над некоторым
полем Р. Согласно определению, всякий элемент алгебры однозначно записывается в форме
х = A1S1 + a2s2 + ... + апг„.
Если ? = A1S1 -(-.-. -J- Kem — какой-либо другой ее элемент, то, в силу свойств 1'—6', имеем
*-Н = (ві + &і) «і + КЧ-МчЧ-••• +(«. + Уц-
Аналогично для любого а из ноля P
ах = Oa1S1 + Oa2S2 + ... + аа„в„.
Следовательно, действия сложения величин алгебры и их умножения на элементы поля P производятся вполне однозначно по приведенным формулам. Действие перемножения величин алгебры должно каждый раз задаваться особо, причем пет нужды знать, как перемножаются произвольные величины алгебры, достаточно знать закон перемножения лишь базисных величин Действительно, в силу свойств 9' и 10'
(Я1?1 + a2?2 + • • • + a«&«) (Vl +?? + • • • + ЬпЧ) = 2 а*Ь* '
Каждое из произведений е,еу есть некоторая величина алгебры и поэтому может быть выражена через базисные элементы
EiSy = CijlSl -f - CiJ2B2 + ...-{- CijnZn.
Здесь CiJtc означают элементы основного поля Р, над которым строится алгебра. Первый индекс означает номер первого множителя, второй — 314
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
второго множителя, а третий указывает номер того элемента, коэффициентом при котором является Cyfc. Коэффициенты Cijk называются •структурными константами алгебры, так как знание их вполне определяет все действия над величинами алгебры.
Легко подсчитать число структурных констант алгебры ранга п. Каждая константа имеет три номера і, /', к. Поэтому число структурных констант алгебры ранга п равно числу троек, образованных натуральными числами 1, 2, ...,п, т. е. равно п3. Например, система •комплексных чисел над полем действительных чисел имеет базис »состоящий из чисел 1, і. В силу равенств
1.1 = 1.1+0.1, 1-1 = 0.1 + 1.1,
i.t = o.i + i-i, і ¦ ; = — і. 1+0 - і, .
структурные константы будут равны соответственно
C111 = I C112 = 0, C21J=O, C212=I,
Cj21 = O, C122= 1, C221= 1, C222 = O.
Обратно, пусть дано nz элементов какого-нибудь поля Р, занумерованных тройками натуральных чисел ciik(i, /, к= 1, 2, ...,и). Тогда ,их можно принять в качестве структурных констант алгебры над
п
полем P, принимая равенства M^= 2 c^fc6fc как опРеДеление правила умножения в алгебре.
Выше мы видели, что каждая алгебра, вообще говоря, имеет бесчисленное множество различных базисов. Структурные константы зависят от выбора базиса, и поэтому одна и та же алгебра определяется различными системами структурных констант.
Какие ?ке алгебры следует считать различными и какие одинаковыми? В теории алгебр принято считать две алгебры над одним и тем же полем P одинаковыми, если они изоморфны, т. е. если величины одной алгебры можно так взаимно однозначно сопоставить с величинами другой, что сумма и произведение двух любых величин первой алгебры будут сопоставлены соответственно с суммой и произведением соответствующих величин второй алгебры, а произведению какого-либо элемента поля P на величину из первой алгебры будет отвечать произведение того же элемента поля P на соответственный элемент второй алгебры.
Это определение одинаковости алгебр показывает, что в теории алгебр изучают лишь те свойства величин и систем величин алгебр, которые находят свое выражение в виде .^некоторыхсвойств трех основных операций. Короче говоря, теория алгебр изучает свойства операций, производимых пад величинами алгебр, и не-интёресуется лриродой величин, составляющих алгебры. § 12. Ассоциативные алгебры 811
Легко доказать, что если две алгебры изоморфны, то величинам, составляющим базис одной алгебры, отвечают величины, образующие базис другой, причем структурные константы, вычисленные в соответствующих базисах, являются соответственно равными. Обратно, если две алгебры над одним и тем же нолем имеют в подходящих базисах соответственно равные структурные константы, то такие алгебры изоморфны.
Среди алгебр весьма важную роль играли и до сих пор играют ассоциативные алгебры, т. е. алгебры, действие умножения в которых удовлетворяет ассоциативному закону <* (?Y) = (эф) f- Изложению свойств таких алгебр и посвящен настоящий параграф. Среди неассоциативных наиболее интересными являются алгебры Ли, для которых предполагается выполнение следующих свойств умножения:
a? = —?x, a(?Y) + ?(Ya) + Y(a?) = 0.
-Они представляют -интерес ввиду [тесной связи, существующей, между .алгебрами Ли и группами Ли, о которых шла речь в § 7.
Алгебра матриц. Выше указывалось, что в продолжение первого периода развития теории гиперкомнлексных систем главное внимание -обращалось на исследование отдельных систем, по тем или иным причинам вызывавших особый интерес исследователей. Некоторые из этих систем были уже нами разобраны. Примерно в середине прошлого пека начались исследования алгебры матриц, играющей ныне основную роль в общей теорпи алгебр. Мы здесь напомним кратко определения действий с матрицами (см. главу XVI, § 1).
