Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Из этих примеров видно, как раскрывается строение полупростых алгебр теоремами Молина и Веддербарна. Что касается алгебр с радикалом, то для них большое значение имеет так называемая основна»1 320
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
теорема Веддербарна, согласно которой при некоторых ограничениях, накладываемых на основное поле, в каждой алгебре А с радикалом R существует полупростая подалгебра L, такая, что каждый элемент заданной алгебры может быть однозначно представлен в виде суммы X-f-p (Х€L, рЄ-fi), причем подалгебра L определяется в некотором смысле однозначпо внутри алгебры А.
Только что сформулированные основные теоремы дают стройное представление о возможных типах ассоциативных алгебр и сводят вопрос об их строении в осповном к аналогичному вопросу о строении нильпотентных алгебр. Теория последних пока еще находится в процессе становления.
§ 13. АЛГЕБРЫ ЛИ
В § 12 говорилось, что, кроме теории ассоциативных алгебр, в настоящее время весьма детально разработана теория алгебр Ли, умножение в которых подчинено требованиям
oc? = -?oc, a(?Y) + ?(Ya) + Y(a?) = 0.
Важность этих алгебр объясняется тем, что они тесно связаны с группами Ли (см. § 7), т. е. с важнейшим классом непрерывных групп. Как мы видели выше, группы Ли играют значительную роль в современной геометрии. В соответствии с происхождением теории групп и алгебр Ли наибольший интерес представляют алгебры Ли над полями всех действительных и всех комплексных чисел
Одним из простых примеров алгебры Ли является следующий. Рассмотрим множество всех квадратных матриц данного порядка п. Введем для них действие коммутирования, понимая под ним составление по данным матрицам А и В их так называемого коммутатора AB — BA, обозначаемого чер.ез [А, В].
Нетрудно проверить, что
[А, В} = —[В, А], [А, [В, CJJ+ [5, 1С, Л]] + [С, [А, В]}= 0.
Следовательно, множество всех квадратных матриц данного порядка образует алгебру Ли относительно операции коммутирования. Ясно, что всякая подалгебра алгебры Ли, образованной матрицами, т. е. всякое множество матриц, замкнутое относительно действий сложения, умножения на числа основного поля и коммутирования, в свою очередь является алгеброй Ли.
Вопрос о том, для всякой ли абстрактно заданной алгебры Ли существует изоморфная ей матричная алгебра, долгое время оставался открытым. Он был решен положительно только в 1935 г. И. Д. Адо, учеником известного алгебраиста Н. Г. Чеботарева. § 13. Алгебры Ли
321
Коснемся теперь в общих чертах, не входя в подробности и не давая строгих формулировок, соответствия между группами Ли и алгебрами Ли, ограничившись случаем, когда группа Ли и алгебра Ли представлены матрицами.
Пусть L — некоторая матричная алгебра Ли. Сопоставим каждой
А A2
матрице А, принадлежащей L, матрицу ?/ = = ^ -J—-J——}- ...
Тогда совокупность всех полученных таким образом матриц образует группу Ли относительно обычного матричного умножения. Обратно, для каждой группы Ли найдется единственная (с точностью до изоморфизма) алгебра Ли, такая, что соответствующая ей группа будет изоморфна данной.
Для простоты мы привели не точную, а упрощенную формулировку теоремы о соответствии между . группами и алгебрами Ли. В действительности соотношение U = еА существует лишь для U, достаточно близкой к единичной матрице, и А, достаточно близкой к нулевой матрице. Строгая формулировка требует введения довольно сложных понятий локальной группы и локального изоморфизма.
Таким образом, переход от алгебры Ли к соответствующей группе осуществляется посредством действия, аналогичного потенцированию, а обратный переход — от группы к алгебре — посредством действии, аналогичного логарифмированию.
Если L совпадает с алгеброй всех матриц порядка п, то соответствующая группа Ли будет группой всех неособенных матриц, так как любая близкая к единичной матрица U может быть представлена в виде ?/ = 64.
Матрица А = (| a(j || называется кососимметрической, если ее элементы удовлетворяют соотношению aJi = — аіу-. Кососимметрические матрицы образуют алгебру Ли, так как если А и В кососимметрические, то матрицы AB — ВА = [А, В] и аЛ -J- будут также косо-симметрическими.
Легко проверить, что для каждой кососимметрической матрицы А выражение еА будет ортогональной матрицей, причем каждая ортогональная матрица, близкая к единичной, может быть представлена в указанной экспоненциальной форме. Следовательно, алгеброй Ли группы ортогональных матриц является алгебра кососимметрических матриц.
Из аналитической геометрии известно, что каждое вращение пространства около начала координат задается ортогональной матрицей, причем произведению вращений отвечает произведение соответствующих матриц. Иными словами, группа вращений пространства около неподвижной точки изоморфна групне ортогональных матриц 3-го порядка. Отсюда мы заключаем, что алгебра Ли для группы вращений про-
21 Зак. № 812 322
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
странства есть алгебра всех кососимметрических матриц 3-го порядка, т. е. алгебра Ли матриц вида
