Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Матрицей над полем P называется совокупность элементов этого поля, расположенных в виде прямоугольной таблицы. Две матрицы называются равными, если равны их элементы, стоящие на соответственных местах. Здесь мы будем рассматривать только квадратные матрицы, число строк которых равно числу их столбцов. Число строк квадратной матрицы или равное ему числу столбцов называется порядком матрицы.
Чтобы сложить две матрицы одинакового порядка, складывают их соответственные элементы. Умножение числа на матрицу по определению означает умножение на это число всех элементов матрицы. Действие умножения матрицы на матрицу определяется более сложно: произведением двух матриц порядка п называется матрица того же порядка, у которой элемент, стоящий в і-й строке и /-м столбце, равен сумме произведений элемевтов г-й строки первой матрицы на соответственные элементы /-го столбца второй. Например:
/ я Ь \/ X у Ux-^bxl ay -^by1 \ Ui V Ui yj~ KalX-^b1X1 аіУ + ЬіУі ) ' Причины, по которым определение перемножения матриц выбрано именно так, были изложенЬ в главе XVI. 316
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
В силу указанных определений матрицы я-го порядка с элементами из какого-либо поля P образуют систему величин, которые можно складывать, умножать на элементы поля P и перемножать между собой. Несложные вычисления показывают, что свойства 1'—10', определяющие алгебру, здесь выполняются. Кроме того, легко доказывается, что умножение матриц подчиняется ассоциативному закону. Поэтому система всех матриц данного порядка я с элементами из заданного поля P образует ассоциативную алгебру над этим полем.
Очевидно равенство
показывает, что четыре матрицы, стоящие в правой части, образуют базис алгебры матриц 2-го порядка. Вообще, обозначая через матрицу, у которой в г-й строке и /-м столбце стоит 1, а остальные места заняты нулями, будем иметь равенство
показывающее, что матрицы SiJ образуют базис алгебры матриц я-го порядка. Так как число матриц равно я2, то ранг алгебры матриц также равен я2. Таблица умножения базисных матриц etj имеет вид
' Vj = 6«' ^-? = 0' f?*k, і, /, k, I = 1, 2, ... , я.
Алгебра матриц содержит единицу, роль которой играет единичная матрица.
Представления ассоциативных алгебр. Пусть каждой величине некоторой алгебры А над полем P отнесена определенная величина какой-либо алгебры В над тем же полем Р. Если при этом сумме и произведению каждых двух злементев алгебры А отвечают сумма и произведение соответствующих элементов алгебры В и произведению каждого элемента поля P на произвольный элемент алгебры А отвечает произведение того же элемента поля P на соответствующий элемент алгебры В, то говорят, что алгебра А отображена гомоморфно в алгебру В. Гомоморфное отображение ассоциативной алгебры в алгебру матриц порядка я называется представлением алгебры А степени а. Если различным элементам алгебры А отвечают различные матрицы, то представление называется точным или изоморфным. Когда алгебра А представлена изоморфно матрицами, можно считать, что действия над величинами алгебры сводятся к действиям над соответствующими матрицами. Поэтому задача нахождения представлений § 12. Ассоциативные алгебры
811
алгебр имеет значительный интерес. Мы рассмотрим здесь только самые простые способы нахождения представлений алгебр, которые, однако, играют важную роль в общей теории.
Выберем в заданной ассоциативной алгебре А какой-либо базис е1( е2, ...,ея и пусть а — произвольная величина из А. Произведения S1Ci, S2OC, ..., е„а являются снова величинами из А и потому должны выражаться линейно через е,, е2, ..., е„. Пусть
s1oc = а„е, 4- a12s2 4- ... -f- а1яея,
s2oc= а2,є, 4" «22є2 4" • • • 4" а2яєя>
гяа = aB1?j 4- ая2е2 4-...4- аи„в„.
Как видим, при фиксированном базисе с каждым элементом а может быть сопоставлена определенная матрица Ца^Ц. Весьма простой подсчет показывает, что это сопоставление является представлением алгебры А. Это представление часто называют регулярным представлением алгебры А. Степень его очевидно равна рангу алгебры.
Комплексные числа можно рассматривать как алгебру ранга 2 над полем действительных чисел с базисом 1, і. Равенства
1 - (а4-&;) = «• 1-И -г, г • (а 4~ ^O — — Ь • 1 -j- а • і
показывают, что в соответствующем регулярном представлении комплексному числу а 4- Ьі отвечает матрица/ й ^ J . Аналогичное пред-
\—Ь а)
ставление кватернионов имеет вид
а 4- bi 4- с/ 4- dk ¦
Указанные представления комплексных чисел и кватернионов являются точными (т. е. изоморфными самой алгебре). Примеры показывают, однако, что регулярное представление не всегда точное. Но если алгебра содержит единицу, то ее регулярное представление заведомо точное.
Легко показать, что всякую ассоциативную алгебру можно включить в алгебру с едипицей. Регулярное представление объемлющей алгебры будет точным; следовательно, зто представление будет точным и для данной алгебры. Таким образом, всякая ассоциативная алгебра обладает точным представлением матрицами.
