Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Таким же образом определяется понятие идеала', порожденного двумя или несколькими элементами. Легко показать, что если ассоциативное коммутативное кольцо имеет единичный элемент, то идеалом, порожденным элементами av ..., а„, будет просто совокупность всех элементов кольца, допускающих запись в виде суммы X1CL1 -}- ... -\-хпап, где X1, ...,хп — произвольные элементы кольца. В частности, главный идеал (а) в коммутативном ассоциативном кольце с единицей есть просто совокупность всех элементов, кратных а, т. е. имеющих вид ха.
В кольце всех целых рациональных чисел каждый идеал является главным. Тем же свойством обладают кольцо многочленов от одного переменного с коэффициентами из некоторого поля, кольцо комплексных чисел вида а-{-Ы, где а, Ъ — целые рациональные, и ряд других колец. Однако уже совокупность всех многочленов от двух переменных х, у без свободного члена не будет главным идеалом в кольце всех многочленов от х, у с рациональными коэффициентами.
Аналогично тому, как это было с нормальными делителями в теории групп, для каждого идеала / кольца К можно построить фактор-кольцо KjI. Делается это следующим образом. Элементы а, Ъ кольца К называются сравнимыми по идеалу I, символически а = Ь (/), если их разность а — Ъ содержится -в /. Легко устанавливается, что отношение сравнимости симметрично, рефлексивно и транзитивно (см. главу XV) и, следовательно, все элементы К разбиваются на классы сравнимых между собой по идеалу /. Рассматривая теперь эти классы как элементы нового множества, вводят для них понятие суммы и произведения, называя «суммой» двух классов тот класс, который содержит сумму каких-либо двух элементов, входящих соответственно в эти классы, а произведением — класс, содержащий произведение указанных представителей. Из определения идеалов следует, что так определенные сумма и произведение на самом деле не зависят от выбора представителей и что в результате совокупность классов становится кольцом.
Роль фактор-колец в теории колец совершенно аналогична роли фактор-групп в теории групп. В частности, построение фактор-колец § 14. Кольца
325
от известных колец представляет собою удобный способ образования колец с самыми различными свойствами. Более того, легко доказывается, например, что произвольное коммутативное кольцо К изоморфно фактор-кольцу кольца многочленов с целыми рациональными коэффициентами от достаточного числа переменных.
Арифметические свойства колец. В числовых кольцах и в полях произведение нескольких элементов может равняться нулю, только если хотя бы один из сомножителей равен нулю. В произвольных кольцах это может оказаться неверным, например произведение двух ненулевых матриц может быть равно нулю. Если в некотором кольце ab = 0, причем а =?= 0, b =?= 0, то а и Ъ называются делителями нуля. Если таких элементов в кольце нет, то кольцо называется кольцом без делителей нуля.
При исследовании законов делимости в кольцах обычно предполагается, что кольцо коммутативно и не имеет делителей нуля. Такие кольца принято называть областями целостности. Упомянутые выше числовые и полиномиальные кольца являются областями целостности.
Пусть К — некоторая область целостности. Говорят, что элемент а делится в области К на элемент Ь, если a = bq, q€zK. Отсюда непосредственно следует, что сумма элементов, делящихся на Ь, делится на b и что произведение нескольких элементов из К заведомо делится на Ь, если один из сомножителей делится на Ъ. При введении понятия простого элемента, аналогичного понятию простого числа, в теории колец возникает усложнение, уже упоминавшееся в главе X (том 2). Именно, сначала приходится ввести понятие ассоциированных элементов кольца, называя элементы a, b ассоциированными, если а делится на b, a b делится на а. Полагая a = bqv b = aq2, имеем ab^ab-q^, т. е. qxq2 = е, где е—единица области К. Частные ассоциированных элементов называются поэтому делителями единицы. Всякий элемент области делится на любой делитель единицы. В кольце целых рациональных чисел делителями единицы являются +1, в кольце чисел вида a-\-bi, где a, b — целые, делителями единицы будут числа +1, +г.
Каждый элемент области целостности К обладает разложениями вида a = at • є-1, где є — какой-либо делитель единицы. Эти разложения называются тривиальными. Если никаких других разложений у а нет, то а называется простым или неразложимым элементом К. В связи с важным значением теоремы об однозначном разложении целых чисел на простые множители представляет интерес нахождение таких классов колец, в том числе и некоммутативных, в которых остается справедливой аналогичная теорема. Например эта теорема имеет место в кольцах главных идеалов, т. е. областях целостности, в которых все идеалы главные.
В связи с вопросом об однозначности разложения на простые сомножители возникло и само понятие об идеалах. Приблизительнс 326
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
в середине прошлого века немецкий математик Куммер, пытаясь доказать знаменитое предположение Ферма о том, что уравнение х" -f- у" = z" не имеет ненулевых целочисленных решений при п^З, пришел к мысли рассматривать числа вида а0-\- а^ +... + aj,""1, где ^ = cos 2іг
