Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
кватерниона а изобразить векторами Х> ?і> я, т0 окажется, что векА § 12. Ассоциативные алгебры
811
тор геометрически получается из вектора ? поворотом вокруг оси, проходящей через вектор а, па угол <р, определяемый формулой ¦ens -I- = а Поэтому можно считать, что кватернион а =
2 yja2 Ъ'1 + с2 f d* J *
= a + bi -\- cj + dk изображает поворот пространства на угол <р вокруг
¦оси a.=-bi -\-cj -\-dk.
Обратно, зная ось поворота и угол <р, можно искать кватернион, изображающий этот поворот. Таких кватернионов оказывается бесконечное множество, но все они отличаются друг от друга лишь численным множителем.
Рассмотрим теперь еще один поворот на угол вокруг некоторой
оси $ = bJ-\-cj -^dlIt. Пусть этот поворот изображается кватернионом $ = ^ + 6^ + ^/ + 6^. Под воздействием первого поворота нроизволь-
ный вектор \ = xi-\-yj -\-гк перейдет в вектор а_1?а, а под воздей-
¦ствием второго поворота этот последний вектор перейдет в ?—1(а— На основании закона . ассоциативности последний результат можно представить в форме
?-1(a-1lx)? = (a?)-1|a?.
Поскольку умножение вектора, т. е. векторного кватерниона \ на кватернион (a?)-1 слева и кватернион a? справа равносильно повороту этого вектора на соответствующий угол вокруг соответствующей оси, мы приходим к выводу, что результат двух последовательных поворотов, характеризующихся кватернионами а и ?, есть поворот, характеризующийся произведением a?. Иными словами, сложению поворотов отвечает перемпожепие соответствующих им кватернионов.
Помимо геометрических и физических приложений, кватернионы нашли замечательные приложения и в' теории чисел. Из последующих работ в этой области следует отметить в особенности работы Ю. В. Линнпка.
§ 12. АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ
Общее определение алгебр (гиперкомплексных систем). Гиперкомплексные числа определялись как величины, для задания которых необходимо несколько действительных чисел, причем для определенности гиперкомплексные числа рассматривались просто как системы действительных чисел. Однако такая точка зрения слишком узка, и для теоретических исследований постепенно стали применять следующее более общее определение.
Некоторая система] величин] S называется алгеброй (или гиперкомплексной системой) над полем Р, если 812
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
а) для каждого элемента а ноля P и каждой величины а системы S определен элемент этой системы, называемый произведением а на а и обозначаемый через ах;
б) для каждых двух величин а, ? системы однозначно определена некоторая величина той же системы, называемая суммой первых двух величин и обозначаемая через a-j-?;
в) для каждых двух величин системы a, ? однозначно определена величина той же системы, называемая произведением первых величин и обозначаемая через a?;
и если указанные три действия обладают следующими свойствами 1C 1') a + ? = ? + a, 2') (a + ?) + Y = a + (? + Y),
З') в системе S существует нулевая величина 6 со свойством
сс-И = а,
4') a(a + ?) = aa + a?, 5') (a-t-&)a = aa-t-fca, 6') (ab)x = a(bx),
7') ба = 6, 1 - а = а, где 1 — единичный элемент поля Р,
8') среди величин системы S существуют такие величины г,.....а,,.
через которые каждая величина системы может быть однозначно представлена в виде Ci1OL1 -j- a2a2 -(- — -j- a„a„, 9') (ax) ? = a (a?) = a (a?),
10') a(? +Y) = a?-f ay, (?-f- y)a = ?a-f y*-
В этом определении роль, которую до сих пор играли действительные числа, играют элементы произвольного поля Р. Из условия 8' видно, что каждая гиперкомплексная величина определяется системой п элементов O11 а2, ...,ап поля Р, и, следовательно, в зависимости от выбора поля P может определяться п комплексными числами, п рациопальными числами, п действительными числами и т. П.
Первые восемь требований означают, что S образует линейное конечномерное пространство (см. главу XVI, § 2) над полем Р, называемым основным полем алгебры.
Требования 9' и 10' можно объединить в виде равенств
(a? + fcY)« = a(?a) + Z>(Y*)>
01 (a? -\-b^)=za (a?) -j- b (ay),
из которых следует, что действие умножения есть действие линейно* относительно каждого из сомножителей.
Из двух терминов «гиперкомплексная система» и «алгебра» в последние годы отдается предпочтение второму, так как элементы столь общих «гинеркомплексных систем» по своим свойствам могут настолько-
і Буквами греческого алфавита обозначены произвольные величины системы S, а буквами латинского алфавита — элементы поля Р. § 12. Ассоциативные алгебры
811
сильно отличаться от обычных чисел, что называть их «гиперкомплексными числами» нецелесообразно. Термины «гиперкомплексные системы», «гиперкомплексные числа» применяются теперь лишь к простейшим алгебрам, например к системе обыкновенных кватернионов.
Из требований 1'—10' видно, что в алгебрах не предполагается коммутативности и ассоциативности умножения, не предполагается существования единичного элемента и выполнимости «деления».
В каждой алгебре S существует базис, т. е. такая система элементов OLv а2, ..., ая, через которую все элементы алгебры однозначно представляются в виде линейных комбинаций агX1 + а2а2 -}-...-}- а„хп с коэффициентами из основного поля Р. Каждая алгебра может иметь бесчисленное множество базисов, но число элементов каждого базиса одно и то же и называется рангом алгебры.
