Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Указанный способ нахождения представлений недостаточен для построения всех представлений алгебры. Более тонкий способ связан 318
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
с понятием идеала алгебры, которое вообще играет большую роль в современной математике.
Система I элементов некоторой алгебры называется правым идеалом, если она есть линейное подпространство алгебры и произведение любого элемента из I на любой элемент алгебры снова содержится в I. Аналогично (с переменой порядка множителей) определяется левый идеал. Идеал, являющийся одновременно левым и правым, называется двусторонним. Ясно, что нулевой элемент алгебры сам по себе уже образует двусторонний идеал — так называемый нулевой идеал алгебры. Так же и вся алгебра может рассматриваться как свой собственный двусторонний тидеал. Однако, кроме этих двух тривиальных идеалов, алгебра может содержать и другие идеалы, существование которых обычно связапо с иптересными свойствами алгебры.
Пусть ассоциативная^ алгебра А содержит правый идеал I. Выберем в этом идеале базис є,, є2, ...,є„,. Так как I составляет в общем случае лишь часть А, то базис I будет иметь, [как правило, меньше элементов,"чем базис А. Пусть а — произвольный элемент из А. Так
как I правый идеал и E1, е2,____ содержатся в /, то произведения
S1CC,___,ZmiX также содержатся в I и, значит, выражаются линейно
через базис ег, ..., єт, т. е.
sIa =aIleI + • • • +eiffle«.
sma = OmiS1 + ... + атт&т.
Сопоставляя с элементом а матрицу ||а,у||, получим, как и ранее представление алгебры А. Степень этого представления равна числу элементов базиса]] идеала I и, следовательно, в общем случае будет меньшей, чем степень регулярного представления. Очевидно, степень представления, полученного при помощи идеала, будет наименьшей,, если сам идеал будет минимальным. Отсюда можно понять особую роль минимальных идеалов *в теории алгебр.
Строение алгебр. Согласно сказанному каждая ассоциативная алгебра А может быть изоморфно? представлена матрицами некоторого порядка. Совокупность матриц, отвечающих в этом представлении величинам алгебры А, будет сама алгеброй, по являющейся лишь частью алгебры всех матриц данного порядка. Если некоторая часть величин алгебры сама является алгеброй, то она называется подалгеброй данной алгебры. Можно сказать, следовательно, что всякая ассоциативная алгебра изоморфна некоторой подалгебре матриц.
Хотя этот результат представляет принципиальный интерес, так как он сводит вопрос о нахождении всех алгебр к нахождению всевозможных подалгебр матричных алгебр, он не дает прямого ответа на вопрос о строении алгебр. Впервые общий ответ на этот вопрос был дан в конце прошлого века в работах профессора Юрьевского § 12. Ассоциативные алгебры
811
(Тартуского) университета Ф. Э. Молина (1861—1941), с 1900 г. преподававшего в Томском политехническом институте.
Алгебру называют простой, если она не содержит никаких двусторонних идеалов, отличных о.т нулевого и всей алгебры. Ф. Э. Моли-ным было показано, что всякая простая ассоциативная алгебра ранга 2 или большего над полем комплексных чисел изоморфна алгебре всех матриц подходящего порядка над этим полем.
Продолжая основополагающие исследования Молина, Веддербарн получил в начале XX в. ряд результатов, вскрывающих весьма полно строение алгебр над произвольным полем.
Какая-либо система элементов алгебры А (в частности сама алгебра А, ее некоторый идеал или подалгебра) называется нилъпо-тентпой, если существует такое натуральное число s, что произведение любых s элементов системы равно нулю. Всякая ассоциативная алгебра обладает единственным максимальным двусторонним нильпо-тептным идеалом, называемым радикалом алгебры. Алгебра,.радикал которой равеп нулю, называется полу простой. Montno показать, что-всякая полупростая алгебра распадается в особого рода сумму простых алгебр, благодаря чему изучение полупростых алгебр целиком сводится к изучению простых. Наконец, алгебра А называется алгеброй с делением, если в А каждое уравнение вида ах = Ь(а=?^0) имеет решение.
Строепне простых алгебр над полем комплексных чисел полностью описывается упомянутой теоремой Молина. Если же основное поле P произвольно, то имеет место более общая теорема Веддербарна: всякая простая алгебра рапга 2 или большего над полем P изоморфна алгебре всех матриц подходящего порядка с элемептами из пекоторой алгебры с делением над тем же полем Р. Таким образом, теорема Веддербарна сводит вопрос о нахождении простых алгебр над заданным полем P к нахождению алгебр с делением над полем Р. Над полем комплексных чпсел есть только одпа алгебра с делением — само поле комплексных чисел. По теореме Веддербарна отсюда следует, что все простые алгебры над полем комплексных чисел изоморфны алгебрам матриц над этим полем, т. е. следует теорема Молппа.
Над полем действительных чпсел существуют лишь три ассоциативные алгебры с делением: само поле действительных чисел, поле комплексных чисел и алгебра кватернионов. Доказательство этого утверждения не очень просто, и мы не будем на нем останавливаться. В силу теоремы Веддербарна отсюда вытекает, что каждая простая алгебра над полем действительных чисел изоморфна алгебре матриц подходящего порядка либо над полем действительных чисел, либо над полем комплексных чисел, либо пад алгеброй кватернионов.
