Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
ж2 + ! =0 § 11. Гиперкомплексные числа
309
/
в области кватернионов, то найдем сразу 6 его корней: ±i, +/, а более точный анализ показывает, что имеется еще бесчисленное множество других решений. Это обстоятельство сильно затрудняет использование кватернионов в математике, и, несмотря на многочисленные попытки Гамильтона и других математиков ввести кватернионы в различные отделы математики и физики, роль кватернионов остается до сих пор в математике относительно скромной и ни в какой мере несравнимой с ролью комплексных чисел.
Однако кватернионы дали толчок развитию векторной алгебры, являющейся незаменимым средством в современной технике и физике. Дело в том, что в механике и физике существенную роль играют понятия скорости, ускорения, силы и т. д., для характеристики которых нужны три числа. Выше мы видели, что каждый кватернион может быть рассматриваем как совокупность действительного числа а и векторной части Ьі -f- с/ -J- dk. Поскольку векторная часть кватерниона определяется тремя числами, для характеристики важнейших физических величин достаточно уже векторных частей кватернионов.
Геометрически векторную часть bi-\-cj-\-dk кватерниона a-\-bi-1--\-cj-\-dk принято изображать вектором, выходящим из начала прямоугольной декартовой системы координат, проекции которого на оси координат* соответственно равны числам Ь, с, d. Поэтому произвольный кватернион геометрически можно представлять как совокупность числа и вектора в пространстве. Посмотрим, какое истолкование при этом получат действия с кватернионами.
Возьмем два векторных кватерниона xi-\-yj-\-zk и Xjiyj-{-ZjJt, скалярная часть которых равна нулю. Геометрически они'изобразятся векторами, выходящими из начала координат. Сумма этих кватернионов будет сиова векторным кватернионом
Легко видеть, что вектор, изображающий эту сумму, будет диагональю параллелограма, построенного на первых двух векторах. Таким образом, сложению векторных кватернионов отвечает хорошо известная операция сложения векторов по правилу параллелограма. Аналогично, если умножить векторный кватернион на какое-либо действительное число, то изображающий кватернион вектор в результате также умножится на это число.
С иным положением мы сталкиваемся при перемножении кватернионов. Действительно,
(xi 4- yj 4- zk) (X1 і 4- у J 4- Z1A:) =
= -XX1 — уух — ZZ14- (г/г, — JI1Z) і 4- (zx, — Z1X) / 4- (Xy1 — хіУ) k,
т. е., перемножая два векторных кватерниона, мы получаем полный кватернион, имеющий скалярную часть и векторную часть.
Скалярная часть произведения векторных кватернионов, взятая с обратным знаком, называется скалярным произведением векторов, 310
Глава XX. Группы, и другие алгебраические системы
изображающих данные кватернионы, а вектор, изображающий векторную часть произведения, — векторным произведением указанных векторов. Скалярное произведение - векторов а и ? обозначается обычно через (зс ?) или просто a?, а векторное произведение тех же векторов— через [a?]. Пусть /, j, k—векторы, отвечающие кватернионам і, /, к, т. е. векторы единичной длины, отложенные вдоль соответственных осей коордипат. Согласно определению, если a = xi-\-yj-\-гк, ? = «i/ + yi/ + «1ft, то
(a?) = XX1 + yyl + ZZ1, [a ?] = (yzl —yxz) і -f (Zxl — Z1X) j -f (хУі — xlV)k.
При помощи последних формул легко дать и геометрическое истолкование скалярному и векторному произведопиям векторов. Оказывается, скалярное произведение двух векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, а векторное произведение двух векторов есть вектор, по длине равный площади парал-лелограма, построенного на данных векторах, и направленный перпендикулярно площадке указанного параллелограма в ту сторону, откуда вращение от первого данного вектора ко второму кажется совершающимся в ту же сторону, что и вращение от оси Ox к оси Oy, если смотреть со стороны оси Oz. '
В настоящее время в механике и физпке не употребляются, как правило, действия с кватернионами, а вместо ниі рассматриваются лишь действия над векторами, причем эти действия определяются чисто геометрическим способом, следуя сформулированным только что результатам*
В заключение укажем одну задачу из механики, решаемую при помощи кватерниопов особепно красиво. Решение ее собственно и послужило одной из причин открытия кватернионов.
Пусть твердое тело спачала поворачивается на некоторый угол <р в заданном направлении около определенной оси OA, проходящей через заданную точку О, после чего поворачивается на угол <р, около другой оси OB, проходящей через ту же точку. Спрашивается, около какой оси и на какой угол следует повернуть тело, чтобы оно из первого положения сразу перешло в третье? Это известная задача механики о сложении конечных поворотов. Правда, она может быть решена средствами обычной аналитической геометрии, что и было сделано еще Эйлером в XVIII в. Однако гораздо более прозрачную форму имеет ее решепие при помощи кватернионов.
Пусть X = xi -f- yj -f- zk и a = a -f- bi -f- с/ -f- dk — два кватерниона, из которых первый мы будем считать переменным, а второй заданным. Выражение a-1?a, как легко проверить вычислением, будет векторным кватернионом. Если теперь кватернионы ?, и векторную часть
