Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
числа для чисто мнимых значений q и нашли, что существует такое значение godtfol « J.468), для которого о0 и а2 — равные действительные числа. Баукамл [20.5] вычислил это значение q0 с 8 знаками после запятой: да — = ± /-1.46876852. Для зиачепяй \q\ > I^0іi7O и Оз—комплексно сопряженные числа. Радиус сходимости ряда 20.2.25, определяющего о0, не больше, чем |g0|. В работе [20.36] показано, что радиус сходимости рядов для c2n(g), п ^ 2, больше 3. Кроме того,
Or — Ъг— OiqrIrr-1) при Y —* ОО.
Заметим, что разложение 20.2.26 применимо не только к целым значениям г. Оно дает хорошую аппроксимацию для собственных значений уравнения Матье при г — п + H-1/2, где и— целое. Этим значенням отвечают решения с периодом 4тт.
Степенные ряды по q для периодических функций ceriz, q) и ser(z, q) (ври достаточно малых q)
20.2.27. ce0(z, q) =" ,
L 2 I 32 1б/
, 9 ( cos 6z 11 cos 2z "j "I ~q I 1152 128 J "J
cCi(z, q) = cos z — — cos 3z +
" cos 5z cos 3z cos z
. 192 64 128 ,
" cos Iz cos 5z cos 3z
. 9216 1152 ~~ 3072
COS Zl ,
¦ IirJ + -
S?\(z, q) = sin z — Y sin 3z +
2 Г sin 5z sin 3 z sin z "I
9 L 192 64 ~ 128 J ~
_ з fsin7z sin Sz _ sin 3z _ sin z 1
4 L 9216 1152 3072 512 J "
/ л n f cos 4z 1 \ , q) = cos 2z — q j ——--— J +
+....
sin 6z sin Iz "1
20.2.28. cer(z, ?) ]
Юі(г, ?) J
384
cos (rz — pn/2) —
-і"
cos[(i- + 2)z-pn/2\
4(r + 1)
cos [(r - 2) г - pr./2] 1
Kr - 1) I
+ f costfr + 4) г -рк/2] cos Kr - 4) г - pr./2] У 32(r+l)(r+2) 32(1--1)(1--2)
cos Itz - рт/2] [ 2fr* + 1)
32 Kra- 1)' где ^ = 0 для aJr(z, ?), р ^ 1 для лег(г, ?) (г > 3).
Г 2(т' + 1) "j 1
L(H-I)iJj
+....536
20. функции матье
CCr
U 1.0 О. S
ае о л о.г о -о.г -ол -о.в -0.8 -1.0
ТГ \ ''.CC2 I
у \ \ ' / х \
г/Л Iso' j го'
\\ \а> I
\ W4 \ / к : \ V /' \ /
Рис. 20.2. Четпые периодические функции Матье, порядки 0 — 5, q = 1,
SSj. 1.2 1.0 0.3
as
OA
о.г о -0.2 -OA -O.S -OJS -1.0
Рис. 20.3. Нечетные периодические функции Матъе, ПОРЯДКИ 1 — 5, q — 1.
.....V /
///VX /
!///Sxx ч
Ii// уЛ \ ^seS /\ is / Wf \ / \
<М \ SO V / да ' г
Л X X
/Л
Cfff.
и «
и
W O.S
as o.t 0.2 о -І.2 -OA -O.S -O.S
-а
Рис. 20.4. Четные периодические функции Матье, порядки 0—5, q — 10.
Для соответствующих коэффициентов имеют место соотношения
20.2.29. Jg(O) - 2JJ(O) = г;(0) =-1 (о 0), А%, = [(-1)-97(51112''-1)] Jg + ... (я > 0),
1С } ~ К ~ ljvWr + sJ! {1)1 С' + '
Шм
о" \ т \«Г j
\ \ ДА /
SSf.
и
1А 12 1.0 0.S O.S OA
о.г о -о.г
-OA
-о. s
-0.3 -1J0
SPff Щ /ОО SSg / M1 / < X Л
/ /у : А Vy W Xl <\ \ \
W' Ы! \ W" \30' I z \ \ I \ \А/ \ У X V W
Рис. 20.5. Нечетные периодические функции Матье, порядки 1—5, q = 10.
AU, 1 (г-.S- 1)! q'
Ar-вя или 1 =- — Cl + ....
BU,) sl(r — 1)! 4'
где rs > 0, с; равно Att или Bf.
Асимптотические разложения собственных значений при q > 1
Пусть w = Zr + 1, q ™ W4"?, 9— действительное число. Тогда20.3. ТЕОРЕМА ФЛОКЕ
537
20.2.30. а, ~ Ъгн----Iq + 2w 4І —
(» + -Ч
w' + 1 I_W d, d,
2'V<P
* , 34 , 9 где А - 5 + — + — .
Wi W1
2> 217у3/а
_ Д.
2й/ 2asT*" "
33 , 410 , 405 rfj = — + — H--г ¦
W иг W6
' 63 , 1260 , 2943 , 486 ~Т +—Г""1--Г"+ "Г"
К VT И1 Wa
. 527 , 15617 , 69001 41607 + —Г~ + —Г~ "I--Г"'
W3 Yp Ws
20.2.31. S,4i - аг~2">1 (9-°°)
(дано в [20.36] без доказательства).
20.3. ТЕОРЕМА ФЛОКЕ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
Так как коэффициенты уравнения Матье
20.3.1. у" + (а — Iq cos 2z) у - 0
являются периодическими функциями Г, то из обшей теории уравнений такого типа следует существование решения в форме
20.3.2. Fv(z) = eivtP(z),
где V зависит от а и и; P(z)—периодическая функция того же периода, что и коэффициенты в 20.3.1, а именно ~ (теорема Флоке; ее более обшуго форму см. в [20,161 или в 120.22]). Постоянная v пазывастея характеристическим показателем. Если функция 20.3.2 удовлетворяет уравнению 20.3.1, то функция
20.3.3. F4(-z) = e-^F(-z)
также удовлетворяет этому уравнению. Функции Fv(z) и Fv(—z) обладают свойством
20.3.4. y(z + Лтг) = Cky(z), где у — F4(z) или у — Fv(—z),
С =а е1т ДЛЯ Fv(Z),
С = er*™ для Fv(-z).
Решения, обладающие свойством 20.3.4, будут в дальнейшем называться решениями Флоке. Если Fv(z) и Fv( — z) линейно независимы, то обшсс решение уравнения 20.3.1 может быть записано в форме
20.3.5. у = AF^z)+ BFv(s).
Если AB Ф 0, то это решение не будет решением Флоке. Позднее из метода определения v при данных а и q будет показано, что v определяется неоднозначно: v может быть заменено на v [- 2к, где к—целое. Это происходит потому, что добавление множителя схр(2ikz) в 20.3.2 не нарушает периодичности функции.
Если а — аг или а = Ar, то v 0 или v—• цсиос. Удобно положить V — /¦ для aT(q) HV-= —г для briq) (см. [20.36]). O отом случае функции F.,(z) и Fw(—z) пропорциональны; тогда второе независимое решение уравнения 20.3.1 можно записать в форме