Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
что dh/dz = 0, т.е. локальное поле постоянно в пространстве. Поэтому из
(13.10) rotb = 0 и js = 0. Подставив этот результат в
(13.8), имеем Ь(г) = 0. Таким образом, поле Ь(г) не может быть направлено
нормально к поверхности.
2. Поле тангенциально и направлено вдоль оси х. Тогда уравнение (13.10)
удовлетворяется автоматически, а из уравнения (13.9) следует, что ток js
направлен вдоль оси у:
db
dz
и из уравнения (13.8) имеем:
dj.
Ал = ЛГ^у>
nse
"JS ' v 5 7
~1 = Ь,
dz m0c
(13.11)
(13.12)
d2b
dz2
m0c
Алп^е2
(13.13)
Внутри сверхпроводника решение является экспоненциально убывающим:
b(z) = 6(0) ехр { - z/
(13.14)
Таким образом, проникает в образец лишь на глубину ць.
Уравнение Лондонов (13.8) получено при условии, что скорость н(г), и,
следовательно, плотность сверхпроводящего тока являются медленно
меняющимися функциями расстояния. Однако следует уточнить, на каких
расстояниях эти функции меняются мало. Кроме длины проникновения
магнитного поля вглубь образца, другой фундаментальной величиной в
сверхпроводнике является корреляционная длина или длина когерентности ?0•
Именно на
302
Гл. 13. Сверхпроводимость
длине когерентности дрейфовая скорость электронов должна слабо меняться,
чтобы было справедливо уравнение Лондонов. Понятие корреляционной длины и
ее фундаментальной роли в свойствах сверхпроводников было введено в
феноменологической теории сверхпроводимости Гинзбургом и Ландау в 1950
году. В этой теории вводится параметр порядка ф(г) такой, что
выполняется:
и плотность свободной энергии /8(г) системы сверхпроводящих электронов
представляется в виде разложения в ряд по этому параметру порядка:
где а = а(Т - Тс)/Тс, Тс - температура перехода в сверхпроводящее
состояние, а и /3 - неизвестные феноменологические константы, /п -
плотность свободной энергии нормальной составляющей, А - векторный
потенциал. Множитель 2 при векторном потенциале учитывает тот факт, что в
сверхпроводящем состоянии носителями заряда являются пары электронов.
Полная свободная энергия Fs = f fs(r)dr минимизируется относительно
вариации функции ф(г). Получим:
ф*{г)ф{г) = ns(r)
(13.15)
1 / р А \ 2 1
+--- -ihV-2-\ф +-A-(VxVxA), (13.16)
4m0 V с /
Sfs( г)
аф -\- /3\ф\2ф + -*:
4т0
ifiV
2еА
с
ihV
2еА
с
5ф* +
- аф* + (3\ф\2ф* -\---------(-ihV ^ ф* X (-ihV--------------------------^
5ф.
j дт{Уф){У5ф*) = - J дт{У2ф)5ф*. (13.18)
В результате имеем:
& J fs(r)dr= J /i(r)rfr+ J f2(r)d\
'r = 0
(13.19)
13.2. Длина когерентности
303
где
= (^4^ " ~) ~ а +/3\ф\2^ фбф*,
/2(г)= (-^V't) - a +/з\ф\2^ ф*(1ф.
Интеграл равен нулю, если выражение под интегралом равно нулю, и тогда
имеем:
' \ ( 2еА\2 \
-ihV I + a - ф\ф\2 \ ф = 0, (13.20)
\ 4 т,
и такое же комплексно-сопряженное уравнение. Эти соотношения называются
уравнениями Гинзбурга-Ландау.
Минимизируя полную энергию Fs = f fs(r)dr относительно вариации
векторного потенциала и учитывая, что V X V X А = = 47rj/c, получим
выражение для плотности тока:
1 eft е2
j = {ф*Уф - фУф*) ф*фА. (13.21)
т0 т0с
Уравнение (13.20) похоже на уравнение Шредингера, а уравнение (13.21) -
это обычное квантово-механическое выражение для плотности тока частиц с
массой 2т0 и зарядом - 2е. В уравнения (13.21), (13.20) входят лишь два
феноменологических параметра а, /3, которые можно определить из двух
экспериментальных данных, а потом с их помощью вычислить основные
свойства данного сверхпроводника.
13.2. Длина когерентности
Найдем решение уравнения (13.20) в отсутствие внешнего поля, т.е. положим
А = 0. Тогда, в пренебрежении членом /3|у3|2 для одномерного случая,
уравнение Гинзбурга-Ландау сведется к виду
h2 д?ф
-4^ = <13'22>
Решение этого уравнения пропорционально ехр {гх/?0), гДе ?о = = (h2 /
(4т0а))1/2.
С учетом члена /3|у3|2 и при А = 0 уравнение (13.22) принимает
вид
h2 д?ф | , | о
-ъ?72-ф + тфш(>- (13'23)
304
Гл. 13. Сверхпроводимость
Найдем решение с граничными условиями ф = 0 при х = 0 (область
нормального состояния) и ф = ф0 при х -> оо (область сверхпроводящего
состояния). Решение имеет вид
. 1/2 а 4 1
ф{г) = С) th - (13-24)
В глубине сверхпроводника мы имеем:
Фо ={§)'¦ (13-25)
Это решение отвечает свободной энергии сверхпроводящего
термодинамического состояния:
а2(Т-Тс)
Fs = Fn- [т^ с>. (13.26)
Если теперь приложить магнитное поле, то оно не проникает вглубь
сверхпроводника, так что энергия (13.26) не изменится. Энергия же
магнитного поля в (13.1) окажется большой, потому что в присутствии
сверхпроводника поле деформируется. Эта дополнительная энергия равна
В2/8тг. Если же поле увеличить настолько, что проигрыш в магнитной
энергии будет превышать выигрыш в свободной энергии (13.26), то металл
перейдет в нормальное состояние. Его энергия во внешнем магнитном поле
станет ниже. Таким образом:
F, = F"-fl = F"-g, (13.27)
где Вс - критическое поле, разрушающее сверхпроводящее состояние:
4ir о24 1/2
Вс = {-р-) ¦ (13.28)
Глубина проникновения поля в сверхпроводник имеет значение:
