Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Оператор спина каждого электрона удовлетворяет равенству Sf = S(S + 1) =
3/4 (S - величина спина). Для полного спина получим:
Д2 = (Si + S2)2 = S'2 + S'2 + 2S!S2 = ^ + 2S!S2. (12.5)
Тогда оператор SjS2 для синглетного (S = 0) состояния имеет
собственное значение -3/4, а для триплетного (S = 1)--1-1/4.
Поэтому оператор
H=^(Es + 3Et)-(Es-Et)S1S2 (12.6)
имеет собственные значения Es для синглетного состояния и Et для каждого
из триплетных состояний. Этот оператор называется спиновым
гамильтонианом. Обозначая J = (Es - Et) и опуская константы, запишем
(12.6) в виде
tf = -JS!S2, (12.7)
где J называется обменной константой.
Для системы из большого числа частиц (IV ~ 1023) спиновый гамильтониан
уже нельзя вывести таким простым способом, как для системы из двух
частиц. Но принято считать, что для системы, состоящей из большого числа
частиц, сложную информацию о конфигурации низкоэнергетических уровней
можно описать в компактной форме спиновым гамильтонианом, который
называется гамильтонианом Гейзенберга:
H=~\J2 - 9ЧъВ ? Sf, (12.8)
i,j i
где Si, Sf - операторы полного спина и его ^-компоненты, индексы i, j
нумеруют узлы кристаллической решетки, в которых расположены ионы с
отличными от нуля моментами, Jij - обменный интеграл между ионами в узлах
г и).
12.1. Ферромагнитное упорядочение
287
Для качественного описания свойств магнитной системы с гамильтонианом
(12.8) используется приближение среднего или молекулярного поля,
предложенное Вейссом.
Для простоты в (12.8) ограничимся взаимодействиями г-го спина только с
его ближайшими соседями. Пусть такие взаимодействия определяются одной
обменной константой J. Выделим в
(12.8) члены, содержащие г-й узел:
Иг = -\jSi ? Sj - gpBBSi, (12.9)
Это выражение описывает энергию г-го спина в поле, которое является
суммой магнитного поля В и некоего эффективного поля, создаваемого
окружающими г-й спин соседними спинами. Эффективное поле является
оператором и сложным образом зависит от конфигурации спинов,
расположенных в узлах кристаллической решетки. Приближение среднего
(молекулярного) поля заключается в замене операторов Si, стоящих под
знаком суммы в (12.9), их средними значениями. В термодинамическом
равновесии выполняется:
ИГ = - Sj (12.10)
и, поскольку все узлы решетки эквивалентны, (12.10) упрощается:
I
ИГ = ~ ( ~Jz(S3)+gpBB Sj, (12.11)
где z - число ближайших соседей в кристаллической решетке.
В случае ферромагнетика средние значения всех спинов одинаковы и поэтому
могут быть выражены через намагниченность образца так:
V М
(s> =-------, (12.12)
V 7 Ngpв' 1 '
тогда эффективное поле принимает вид
Вэфф = В + 7М, (12.13)
где 7 = Jzpl/g2.
Даким образом, в приближении среднего поля магнитные атомы или ионы в
веществе можно рассматривать как свободные парамагнитные ионы,
находящиеся в эффективном магнитном поле, которое зависит от средней
намагниченности вещества. В этом случае для расчета намагниченности и
других свойств ферромагнетика можно воспользоваться результатами,
полученными в главе 11, заменив магнитное поле В на сумму В + 7М.
288
Гл. 12. Магнитоупорядоченные структуры
Пусть поле В = 0. Для намагниченности получается самосогласованное
уравнение, поскольку при этом аргумент функции Бриллюэна (11.34) содержит
намагниченность. При Т = 0 функция Бриллюэна равна единице, и спонтанная
намагниченность единицы объема равна:
N
Мя(0) = -gspB. (12.14)
Эта величина называется намагниченностью насыщения.
Зависимость Ms от температуры можно определить из уравнения (11.33),
подставив в него вместо поля В величину 7М. При повышении температуры
спонтанная намагниченность уменьшается и при некоторой температуре,
называемой температурой Кюри, она исчезает, и вещество становится
парамагнитным. Температуру Тс можно найти из (11.37), заменяя В на 7М и
j(j + 1) на s(s + 1):
= (12Л5)
Рис. 12.1. Зависимость спонтанной намагниченности от температуры
Магнитная восприимчивость 7 = М/В может быть найдена из той же формулы
(11.37) с заменой В на 7М и j ( j + 1) на s(s+1). При Т > Тс в
парамагнитной фазе магнитная восприимчивость ферромагнетиков подчиняется
закону Кюри-Вейсса:
* = Y~t~c' (12'16)
где С = g2s(s + l)/i|/3кв.
Зависимость спонтанной намагниченности вблизи температуры Кюри можно
получить, разлагая функцию Бриллюэна при внешнем поле, равном нулю,
вплоть до членов третьего порядка малости:
(2s + I)2 - 1 х (2s + l)4 - 1 ж3
BJx) = ±-Ь-; --------------^; ---------------------+ ..., (12.17)
v ' (2s)2 3 (2s)4 45 v '
тогда для приведенной намагниченности а = M/(NggBs) имеем:
о 10 (s + 1)2 Тс-Т Тс-Т
с - -v 71 '---------------------------- --, ------< 1.
(12.18)
3 s + l2 + s-2 Тс Тс ^ 1 ;
12.2. Ферримагнетики
289
При низких температурах (Г ра О К) зависимость от температуры можно
получить, пользуясь разложением функции Бриллюэна (11.34) в виде
<'=1-гхр(-ФЬ^)+"' (12-19)
Этот результат находится в противоречии с зависимостью
(7=1- Т3/2, (12.20)
полученной в более строгой теории спиновых волн и подтвержденной
