Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Связь между Л и теорией частиц, и, в [частности, связь этой проблемы с формулами, предложенными Дираком и Эддингтоном, анализируется Зельдовичем (1968). Аналогичное выражение для Pa получено Станюковичем (1965) из соображений, с которыми мы не согласны.
Существует другая сторона проблемы: часто говорят, что Л =f= 0 означает, что гравитоны обладают ненулевой массой покоя. Но А Ф 0 означает также, что даже в отсутствие материи пространство — время не может быть всюду плоским. А в кривом пространстве нет ясного определения массы гравитонов. Этот вопрос подробно обсуждается Тредером (1968).
Космологический член, если он и отличен от нуля, то по абсолютной величине настолько мал, что может быть существен только в космологии. Вот почему далее в этой книге мы пишем уравнения Эйнштейна без Л-члена.
Рассмотрим слабое поле тяготения. В этом случае, очевидно, можно выбрать такую систему отсчета, в которой компоненты метрического тензора мало отличаются от своих галилеевых значений (обозначенных индексом (°>):
Величины hilt и их производные по координатам будем считать малыми. Рассмотрим простейший случай, когда поле создается медленно движущимися телами (vie 1) и электромагнитные
_ Gm2 1 _ GmW 8а ~~ % ' А,3 ~~ №
§ 10. Закон Ньютона и слабое поле тяготения
(1.10.1) 46 УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА [ГЛ. і
ноля слабы. Тогда, как показал еще Эйнштейн (см., например, Эйнштейн (1965), [ср. § 12, формула (1.12.1)] можно так выбрать координаты, что уравнения тяготения запишутся (с точностью до малых первого порядка) в виде
[Jhik = - кр&ік (1.10.2)
где Q — оператор Д'Аламбера в невозмущенной метрике
г—і _ д2______д2 . д2
U~" дх12 дх2* дх32 +
Решение уравнений (1.9.2), как известно, записывается в виде запаздывающих потенциалов
— jJJaS (*?¦). <"°-3>
с
где г = Y(xx)2 + (х2)2 + (^3)2- Написав решение (1.9.3) для неволновой зоны (т. е. на расстоянияхг<^тс, где т — характерное время смещения масс в системе), получим
Ai* = - і Ь ^ = - -?- , (1.10.4)
где ф — ньютоновский потенциал тяготения. Выражения (1.10.1) теперь перепишутся в виде
.00=(1-4)' )
Ia Л- 2<Р Ї (1Л0-5)
= .22 = .33 = - (1 + , )
остальные gik — 0. Гравитационная сила Fa по формуле (1.6.1b) равна
F-.*P
1 а —
дха
Уравнения движения медленной частицы (1.5.19) в случае метрики (1.10.5) сводятся в первой приближении к уравнениям
TT-Sr- <"<«>
Уравнения (1.10.6) соответствуют второму закону Ньютона. Таким образом, уравнения (1.10.4) и (1.10.6), следующие из уравнений Эйнштейна (1.8.1), в случае слабого поля содержат в себе § 10]
ЗАКОН НЬЮТОНА И СЛАБОЕ ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
47
теорию тяготения и механику Ньютона. С помощью метрики (1.10.5) можно получить первые поправки к теории Ньютона.
По формуле (1.4.8) для интервала времени находим
= 1—(I--Jr)Я. (1.10.7)
На бесконечности ф = 0 и ^x00 = dt. Вблизи тяготеющих масс темп течения времени меньше, чем на бесконечности:
d%={i --J-Jdt00. (1.10.8)
Из формулы (1.10.8) следует, например, что колебания в атомных системах в поле тяготения происходят с меньшей частотой (по часам?далекого наблюдателя). Следовательно, кванты света, испущенные такими системами, будут восприняты наблюдателем как квантьГс меньшей частотой, т. е. как покрасневшие. Это — знаменитое гравитационное красное смещение, одно из первых наблюдательных предсказаний ОТО. Мы еще вернемся к этому вопросу при анализе точного решения уравнений Эйнштейна для сильного поля тяготения.
Если теперь при написании уравнений движения для метрики (1.10.5) отказаться от предположения о малости скорости пробной частицы [что предполагалось в (1.10.6)], то из них легко получить два других известных вывода ОТО, уточняющих теорию Ньютона: вековое смещение перигелия орбиты Меркурия и отклонение луча света, проходящего вблизи Солнца. Мы вернемся к этим вопросам в параграфах о сильном поле тяготения.
Наконец, откажемся от предположения о пренебрежимой малости скоростей масс, создающих поле; тогда, написав сами уравнения поля с точностью до величин более высокого порядка малости по vie, чем (1.10.2), можно получить первые неисчезаю-щие поправки hQ0L в пространственно-временнйх компонентах метрического тензора.
Оказывается, что при надлежащем выборе координат величины h0<x в первом приближении определяются формулами
W^f' (uo-9>
где Vа- — компоненты трехмерной скорости вещества. Посмотрим, к каким следствиям приводят эти поправки.
В § 6 этой главы было показано, что если в системе отсчета имеются отличные от нуля Tfc0Gt (неустранимые преобразованием координаты времени), то система вращается, т. е.[в ней действуют силы Кориолиса. В случае малого отличия метрики gi1( от 48
УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
[ГЛ. і
галилеевой и стационарности = 0 формулы § 6 для определения вектора угловой скорости вращения системы Q сводятся к следующему результату:
& = —Sr rot (Son A»* Sos), (1.10.10)
гДе (S01» ?02» Sos) обозначает вектор с компонентами gol1 g02, g03.
Из уравнений (1.10.9) и (1.10.10) следует, что вблизи вращающегося тела в гравитационном поле возникает поле кориолисо-вых сил, т. е. местная инерциальная система отсчета вращается относительно далекой от тела инерциальной системы.
