Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
8 8 0 0
Тцс =
Тцс —
8 8 0 0 _ 0 0 0 0 е 0 0 0 0
Такие же частицы, движущиеся в противоположную сторону, дадут
8 —8 0 0 — 8 8 0 0 0 0 0 0* 0 0 0 0
TiTc = 36
УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
[ГЛ. і
При сложении потоков частиц со всеми равноправными направлениями снова получим тензор энергии-импульса релятивистского газа P = е/З.
Вернемся к общему Tifi и запишем уравнения сохранения энергии и импульса. В СТО в декартовых координатах инерциальной системы отсчета тензор энергии-импульса удовлетворяет соотношению
ik
дт*
дх
IDT = (1-8-4)
которое, как известно, выражает закон сохранения энергии и количества движения.
Обобщением выражения (1.8.4) для криволинейных координат является равенство нулю ковариантйой дивергенции:
Qrpk
Гі; * = TF + - = (1-8-5)
OX
Очень важно, что закон (1.8.5) следует из уравнения поля (1.8.1). Действительно, как показывается в учебниках, левая часть уравнений поля удовлетворяет соотношению
(д?-4-*?я);к = 0. (1.8.6)
Тем не менее, (1.8.5) не выражает непосредственно закон сохранения каких-либо величин (т. е. неизменности этих величин во времени), ибо для этого необходимо, чтобы выполнялось равенство (1.8.4), а не (1.8.5) *).
Выражение (1.8.5) было бы правильнее называть уравнениями движения, так как они непосредственно выражают законы движения материи с учетом тяготения **). Чтобы это показать для случая Tik газа, выберем систему отсчета, движущуюся вместе с веществом (сопутствующую систему отсчета), т. е. будем пользоваться лагранжевыми координатами и собственным временем каждого элемента вещества. Обозначив через E энергию объема V элемента вещества E = eV и используя (1.8.2), выражение (1.8.5) для нулевого индекса і=О можно привести к виду
dE +PdV = 0, (1.8.7)
*) Только в случае (1.8.4) мы для суммы производных по пространственным координатам можем применить теорему Гаусса и перейти к интегралу по поверхности. В (1.8.5) атому мешают слагаемые, не имеющие вида обычной дивергенции.
**) Уравнения (1.8.4) также содержат уравнения движения в отсутствие поля тяготения. 37 УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
[ГЛ. і
а выражение (1.8.5) для пространственных значений индекса і записывается в виде
ЭР __ ^oa ЭР = ( р) К (1 g 8)
дха goo дх° v 1 1 с2 v 1
Уравнение (1.8.7) описывает изменение энергии за счет работы сил давления при деформации газа, уравнения (1.8.8) определяют сохранение импульса вещества в лагранжевых координатах. Очевидно, что при переходе к нерелятивистскому случаю ?оа -»0, 8^>Рмы приходим в (1.8.8) к обычным уравнениям для импульса.
Точные уравнения (1.8.8) в случае покоящегося вещества являются уравнениями равновесия:
^ = (1.8.8а)
дхa с2 a V '
Подчеркнем, что справа стоит множитель ^8 "^2 ^ , а не р,
как в нерелятивистской теории.
Запишем в криволинейных координатах закон сохранения числа неисчезающих частиц (например, барионов). Пусть п0 — плотность числа частиц в сопутствующей системе отсчета; составим 4-вектор
(1-8.9)
Равенство нулю его ковариантной расходимости [см. (1.5.18)]
aly—g^-n.) /''-T= 1 а/
означает сохранение с течением времени интеграла по трехмерному объему (если нет потока через поверхность):
N = SS ^ WWdx* = $ щ YFoo dV. (1.8.11)
---^zpO
Величина п = TIq у g00 есть плотность распределения частиц
в данной системе отсчета (см. ниже). Следовательно, полное число частиц N при выполнении (1.8.10) остается неизменным во времени.
Перепишем величину плотности распределения частиц
п = Tl0 YSoo через трехмерные величины. Определим прежде
всего вектор трехмерной скорости i>a. Интервал собственного времени между двумя событиями в близких пространственных 38
УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
[ГЛ. і
точках определяется выражением
cdt =
Soidxl
VgOO '
Отсюда для компонент скорости получаем
с помощью последнего выражения переписываем интеграл (1.8.11) 3
лг-ТО , Tfv _ (1-8-12)
W1
" с \ Boodx0 J
goodx0
Выражение (1.8.12) отличается от обычной формулы специаль-
(л , Soa dx*\
НОИ теории относительности ТОЛЬКО множителем Il + — ^JoJ
в знаменателе *). Этот множитель возник потому, что одновременному физическому моменту в разных (близких) пространственных точках благодаря наличию компонент g0a в выражении для интервала, соответствует разность координатного времени .
goo
Если в СТО использовать криволинейные 4-мерные координаты, в которых g0<x ф 0, то и там формула для числа частиц примет вид (1.8.12). Таким образом, в ОТО закон сохранения частиц записывается точно так же, как и в отсутствие тяготения. Это и не удивительно, так как тяготение, очевидно, не меняет числа частиц.
Наконец, выпишем/ еще выражение для гауссовой кривизны 3-мерного пространства (см. § 4 этой главы) сопутствующей
системы отсчета в статистическом случае (т. е. когда все = о) :
00 = ??. (1.8.13)
В нестатическом случае изотропной (одинаковой по всем направлениям) деформации вещества и при отсутствии вращения имеет место формула
