Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зельдович Я.Б. -> "Теория тяготения и эволюция звезд" -> 20

Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.

Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Теория тяготения и эволюция звезд — М.: Наука , 1971. — 486 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyatyagoteniya1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 200 >> Следующая


Рассмотрим для примера вращающуюся полую сферу. Заметим, что в ньютоновской теории силы тяготения не зависят от движения вещества, и внутри полой сферы в ньютоновском приближении ф = const, гравитационных сил нет. Действительно, в силу сферической симметрии решение ньютоновского уравнения

в пустоте Уф = 0 должно иметь вид ф = + const. Из отсутствия

особенности в центре следует а = 0, ф = const.

Вычислим Теперь КОМПОНеНТЫ Uqq. ВНуТрИ ОДНОрОДНОЙ ПОЛОЙ сферы массы M и радиуса і?, вращающейся с угловой скоростью со. С помощью (1.10.9) находим (вычисления приведены в приложении к параграфу)

, 4'GMo) ~ . * . hl0==--337p-г sin 0sm<pf

7 4 GMa>

(1.10.11)

"20 = Зс3 R rsindcoscPj

A30 = 0.

Здесь г, 9 и ф — сферические координаты точки внутри сферы. Из (1.10.11) определяем по формуле (1.10.10) вектор Q:

Q1 = 0,

Q2 = O,

п _ 4 GMco

J11Jo ---

с* R

IQG2M2Cd2

Q2 — QaQa — - oc*R2

і

(1.10.12)

Таким образом, вращение сферы приводит к возникновению кориолисовых сил внутри сферы. Это явление аналогично возникновению магнитных сил внутри вращающейся заряженной сферы.

Подчеркнем, что наблюдатель внутри сферы, если он не может получить информацию из областей вне сферы, никаких корио- § 10]

ЗАКОН НЬЮТОНА И СЛАБОЕ ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ

49

лисовых сил не обнаружит. Действительно, внутри сферы прецессия гирокомпасов (система гироскопов, указывающих неизменное направление в инерциальной системе отсчета) во всех точках одинакова и поэтому обнаружить ее невозможно. Только сравнив свою инерциальную систему с инерциальной системой вне сферы на бесконечности, наблюдатель обнаружит, что его система медленно прецессирует.

Аналогичный эффект вызывает вращение тела и во внешнем поле. Приведем сразу окончательную формулу:

IОI = ^r (Зсоз2 Є + 1)*, (1.10.13)

где К — полный момент тела.

Наличие кориолисовых сил означает, что инерциалыщй компас (система гироскопов), который вдали от движущихся масс указывает на одни и те же далекие звезды, будет вблизи вращающегося тела поворачиваться с указанной угловой скоростью, меняя ориентацию относительно далеких звезд.

Скорость прецессии гирокомпаса у полюса вращающегося тела (9 = 0) в два раза больше, чем у экватора (9 = я/2). При этом у полюса прецессия происходит в ту же сторону, что и вращение тела, а у экватора — в противоположную сторону.

Для однородного шара, вращающегося с частотой со, формула (1.10.13) может быть переписана в следующем виде:

IfiI = W (3cos2 9 +1^21011 (-г)3 • (1-10-14)

Вблизи обычных звезд и планет прецессия ничтожно мала (хотя в принципе измерима!). Так, у полюса Солнца Q© ^ 5-Ю"12 сек"1 ж a 30 у ел* сек! год. У поверхности Земли ?j ^ — 0,1 угл*сек/год на экваторе и 0,2 угл*сек/то% на полюсе (за положительное выбрано направление вращения тела). Заметим, что у нейтронных звезд — пульсаров (см. гл. 14) й может быть порядка 20 сек"1.

ПРИЛОЖЕНИЕ К § 10

Вычислим смешанные компоненты метрического тензора внутри полой однородной вращающейся сферы. Эти компоненты вычисляются по формуле (1.10.9):

^Oa= (І.ІО.Іп)

Здесь Vcl — компоненты скорости сферы в декартовой системе координат, г — расстояние от элемента dV до данной точки. Перейдем под знаком интегрирования к сферическим координатам. Компоненты скорости:

vx = V1 = — ay = — Rсо sin ф sin 9, Vu ~ V2 = сох = Rcd соs ф sin 9, Vz^=V3 = 0. 50

УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА

[ГЛ. і

Здесь со — угловая скорость вращения, R — радиус сферы. Очевидно, что компонента h03 равна нулю. Величину г в (І.ІО.Їп) выразим через угловые координаты: г — R У1 + т]2 2т] cos а, где т] = r/R, г — радиальная координата точки, где вычисляются &0а, а — угол между направлением из центра на эту точку интегрирования и на элемент на сфере dV. Заменяя р dV

на sin 0йф dB, где M — масса сферы, имеем для Ji01 и Ji02

, sm*ersinn

8я2с J yi + T1a_2ricosa T v '

Преобразуем знаменатель подынтегрального выражения. Прежде всего, cos а = cos В cos O0 + sin 0 sin 0О cos (ф — Фо),

где 90, фо и 9, ф — угловые координаты рассматриваемой точки и элемента интегрирования соответственно. Теперь можно записать:

JM

Uo2J

яМсо

= 2 ЧпРп (cos а) = 2 Цп {^n(cos 0) Pn(cos 0О) + за ^ej 1 L

У1 + ті2 — 2т] cos с

1 1 1 1 Tl=O П=0

Tl

+ 2 S [, + ?! Pn (cos 0) (cos 0,) cos [т (q> - Ф„)]}, (І.ІО.Зп)

где Pn (х) — полиномы Лежандра, Р™ (х) — присоединенные полиномы Лежан-дра. Первое слагаемое в фигурных скобках в (І.ІО.Зп) после умножения на sin ф или cos Ф и интегрирования по ф в пределах 0 -?-2я в выражении (1.10.2п) дают нуль. Далее, используя соотношения

2 Я 2я

^ sinф cos [ш (ф — фо)] d(f = ^ {sin [(яг + 1)ф — 7шр0] + о о

+ Sin [ф (1 — т) + И1ф0]} dkp = я sin ф0б]п ,

^ cosф cos [т(ф — фо)] йф = ^ {cos [(т + 1)ф — тф0] + о о

+ COS [(1 — т) ф + Я7ф0]} d(f = Я COS ф0б™ ,

где 6^ — символ Кронекера, получаем окончательно:

O --W Фн*) S^sfb-W, X

-1 Ti=O

X (COS 0О) {-3inHd, = - f^(cos0o) {- ainH = 4 07 [ cos Фо J бяо 1 14 u/ L COS фо J

= ^rsin0J-sinM
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 200 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed