Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
TST (т ?+«-*)• (1в'3)
Скаляр Q = Vs aQ?h*aP есть угловая скорость поворота за единицу собственного времени dx = YSoo dt.
Для вращающегося диска в цилиндрической системе координат имеем
A^ = - А21 = -
/-?
Q2J^ .2
Остальные = 0. Вектор угловой скорости имеет компоненты
О. == 02^2 У ^2 = = 0.
7Г"
В системе отсчета, в которой все g0a — все ^a? = 0' Если в некоторой области Aa? 0, т. е. система отсчета вращается, то в этой области нельзя синхронизовать часы. Для вращающегося диска это было показано выше. Если же Aa? = 0, то это означает, что система не вращается и преобразованием координаты времени X0 = ^0 (х°, Xі, X2, Xs) можно обратить все goi в нули, т. е. синхронизовать часы.
Пусть в некоторый момент тело покоится в данной системе отсчета. Тогда ds2 = g00 (dx0)2 и его 4-скорость имеет компоненты
п dx о _і/, „ г, U0 = -J7-^goo2; и*= 0.
Из формулы (1.5.19) находим для пространственных компонент а:
<рха ___ С
go о
Подставляя выражение ds2 = c2dx2 и используя символ Fcc для инерциальной силы, получаем
!2H0 = ^4 (1.6.1а)
^T2 goo
Мы получили уравнение (1.6.1). ДИНАМИЧЕСКИЕ И КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
31
**1
ik
В частном случае стационарности метрики, т. е. при
= 0
выражение (1.6.1) переписывается в виде *)
'--T-(P)I*" (1ви>
Наконец, деформация координатной системы определяется 3 мерным тензором Da?i
і г
D" (1-s'4)
Скаляр D = Da = Da?h*a& — скорость относительного объемного расширения элемента объема системы dV. Если система с течением времени не деформируется, как, например, равномерно вращающийся диск, то Da? = 0.
Заметим, что Fa1 ?2", Da?, не зависят от выбора координаты времени. Если мы будем преобразовывать координату времени [иными словами, по-разному выбирать единицу измерения времени (масштаб); кроме того, берется разное начало отсчета времени в разных точках системы отсчета]:
х° = ж0 (?°, X11 X21 Xs), (1.6.5)
то перечисленные величины вообще не меняются. Так и должно быть для величин, описывающих состояние движения системы отсчета, ибо преобразование (1.6.5) это состояние не меняет. Такие величины были названы A. JI. Зельмановым (1956) хронометрическими инвариантами. Далее, если менять только пространственные координаты, т. е. по-разному чертить координатную сетку системы отсчета:
= яа (Xі, X29 X3), (1.6.6)
то компоненты вектора Fa1 например, меняются, аналогично изменениям компонент вектора при повороте декартовых координат, но сам вектор неизменен, неизменна его длина — скалярі. То же относится к скалярам Q, D.
Лишь при переходе- к другой системе отсчета, т. е. к другому состоянию движения: *tra = ха Д?1, #3), OocaIdx0 =/= 0 меняются и величины, его характеризующие, скаляры F9 ?2, D.
dt UV2
XsOO
*) Точнее, для справедливости (1.6.1b) требуется только, чтобы = 0.
fl /° Oa 32
УРАВНЕНИЯ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
[ГЛ. і
§ 7. Кривизна пространства — времени
В предыдущих параграфах коротко перечислены геометрические и физические свойства неинерциальных систем в плоском пространстве — времени Минковского.
Согласно ОТО вблизи массивных тел пространство — время искривлено и является 4-мерным римановым пространством (точнее, псевдоримановым) *). В конечной (не малой) области этого 4-мерного пространства уже нельзя ввести галилееву систему координат, в которой интервал имел бы вид (1.2.1)
ds2 = [cdt)2 — dx2 — dy2 — dz2,
но это можно сделать в малой области, введя в данном месте свободно движущуюся (свободно падающую в поле тяготения) систему отсчета. Такая система отсчета называется локально галилеевой **). В локально галилеевой системе поле тяготенияне проявляется — имеет место невесомость. Математически возможность выбрать такую систему, очевидно, связана с тем, что малый участок кривого пространства совпадает с плоским касательным пространством.
По отношению к локально галилеевой системе другие системы, в которых уже проявляется действие тяготения, движутся ускоренно, и переход от галилеевой в данный точке системы к этим системам есть просто переход в малой области от инерциальной системы к неинерциальным. Силы инерции и силы тяготения локально неразличимы. Следовательно, как мы уже отмечали, все формулы для геометрических, динамических и кинематических величин, приведенные в предыдущих параграфах и имеющие локальный характер, т. е. описывающие свойства системы в малой области в данный момент времени, будут справедливы и в общем случае кривого пространства — времени. Вычисление длин, промежутков времени гравитационно-инерциальных сил, вращения и т. д. производится в ОТО по приведенным выше формулам. Подчеркнем только, что теперь уравнения (1.5.19) определяют в произвольных координатах не прямую, а экстремальную в кривом пространстве — времени геодезическую линию (в искрив-
*) Кривизна пространства — времени в ОТО не обязательно связана с присутствием вещества или (негравитационного) поля. Как будет видно из дальнейшего, ОТО предсказывает существование гравитационных волн, несущих энергию и вызывающих искривление пространства. С другой стороны, возможны нестационарные решения для пустого искривленного пространства— времени, описывающие анизотропную деформацию пространства и нигде не содержащие вещество. Эти решения, так же как и решения для гравитационных волн, описывают свободное гравитационное поле.
