Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
которая теперь не обязательно минимальна для колебаний вблизи принятой
"равновесной" конфигурации, в которой каждое смещение us{ равно нулю. При
этом весь кристалл расширяется (или сжимается) до тех пор, пока не будет
достигнут объем, при котором полная свободная энергия минимальна.
Ввиду отсутствия информации об ангармонических членах, необходимой для
расчета из "первых принципов", можно феноменологически предположить, что
частота колебаний решетки есть функция объема. Примем для простоты, что
изменение объема AF приводит к относительному изменению частоты,
одинаковому для всех мод:
JVL=-V-T1- (2.120)
Тогда полную свободную энергию кристалла как функцию объема можно
записать в виде
q
Здесь первый член представляет потенциальную энергию, связанную со
сжимаемостью х твердого тела, рассматриваемого как упругий континуум.
Второй член есть сумма свободных энергий различных колебательных мод
решетки в том виде, в каком она обычно получается в статистической
механике осцилляторов Бозе - Эйнштейна.
Дифференцируя по объему и пользуясь соотношением (2.120), находим условие
минимума свободной энергии:
4-(-T-)=Sv*v,T"b-^ = Tf(T). (2.122)
q
Здесь % - энергия колебаний решетки при температуре Т, определяемая
формулой (2.48). Мы пришли, таким образом, к формуле Грюнайзена'.
расширение при температуре Т пропорционально плотности средней тепловой
энергии, т. е.
¦Щ- (Т). (2.123)
§ 11. Фонон-фононное взаимодействие
85
Коэффициент теплового расширения, будучи производной от расширения по
температуре, пропорционален удельной теплоемкости Cv.
Сравнивая результат (2.123) с опытом, можно найти постоянную Грюнайзена
у. Обычно она близка к 2. Постоянная представляет собой безразмерный
параметр, удобный для описания эффектов, связанных с ангармоничностью.
Для модели Дебая соотношение (2.120) можно записать в виде
(2.124)
Отсюда ясно, что постоянная у характеризует влияние изменения объема на
температуру Дебая. В действительности это слишком упрощенная модель
теплового расширения. Расширение по-разному воздействует на различные
моды: значение параметра у для продольных колебаний обычно гораздо
больше, чем для поперечных. Поэтому вклады этих колебаний в правую часть
(2.122) надо рассматривать порознь.
Ангармонизм влияет также и на упругие постоянные, которые меняются с
изменением объема и температуры. Эти явления очень сложны и не
описываются элементарной теорией; они зависят от ряда различных
параметров.
§ 11. Фонон-фононное взаимодействие
С формальной точки зрения наиболее важное проявление ангармонизма состоит
в нарушении динамической независимости различных мод решетки. Подставим,
например, выражения (2.8) и (2.10) в формулу (2.119). Для случая решетки
Бравэ можно написать
5Г(3>= 2 Агг-г* * UiUi'Ut" =
IV Iе
= 2 2 Агг-г ! UgUq'Uq" exp {i (q"Z + q' • Z' -f q"- ?")}. (2.125)
11'If qq'q"
Мы пользуемся здесь самыми компактными обозначениями для тензора
коэффициентов третьего порядка и для скалярного произведения его на
векторы смещения.
Выражение (2.125) надо учесть при составлении уравнений движения.
Характер его можно проиллюстрировать, применяя, как и в случае тензора
(2.6), принцип трансляционной инвариантности. Тензор коэффициентов в
выражении (2.125) может зависеть только от относительного положения узлов
I, V и I". Поэтому
Аггг =* A (h', h"),
(2.126)
86
Гл. 2. Колебания решетки
где
h' = Г - I, h" = I" - I.
Подставляя это в формулу (2.125), получаем
Т(3> = S 2 А (Ь', h''): UqUq-Uq"ei(4+q'+q")-"eiq'-h'eiq".h"== fh'h" qq'q"
= 2 I 2 ft (h', h") e<q'-h'eiq'-h-}: uquq^uq. 2 е"<ч+ч'+ч'>-" =
qq'q" h'h" I
= 2 -^Sq+q'+q"^ A (q , q ) : UqUq'Uq". (2.127)
qq'q"
Итак, тензор коэффициентов связи между колебаниями есть фурье-образ
тензора ангармонического члена. При более подробном рассмотрении можно
заметить, что суммирование по I приводит к появлению множителя типа
(2.92), который обращается в нуль, если не выполнено условие
q + q' + q" = g, (2.128)
где, как всегда, вектор g есть либо нуль, либо один из векторов обратной
решетки. Таким образом, на квазиимпульсы колебаний, которые оказываются
связанными, накладывается некоторое условие.
Это можно интерпретировать следующим образом. Рассмотрим ангармонические
члены как возмущение колебательного движения решетки, подчиняющегося
уравнениям (2.11). Эти уравнения с помощью канонического преобразования
можно привести к системе уравнений движения независимых простых
гармонических осцилляторов. Хорошо известно, что такие уравнения в в
квантовой механике получаются из гамильтониана, который в свою очередь
можно выразить через операторы рождения и уничтожения квантов колебаний
каждого типа.
Действительно, можно показать, что справедливо равенство
Uq= I ^ 2NMvq) eq (aq a*q)> (2.129)
где eq - единичный вектор поляризации колебания с волновым вектором q,
принадлежащего некоторой ветви спектра, а величины aq, а\ суть операторы
уничтожения и рождения фонона данного типа. Вектор поляризации
