Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
структурный фактор будет
У e-iK-l= 2 е-Н^^+Яг^г+Яз/з) -
1 h, (21 1з
= ( 2 e~iKili) ( 2 e_iK2'2) ( 2 e-iK3,#) =
0^?l<Ll 0^^2<^2 0^/3<L3
!\__p-iKiLi\ I" ~ \КгЬъ\ (Л __е-гКзЬз\
- (hz^r) (тг^пи-) (тгт^г) ' <2'">
где, как и в формуле (1.76), величины Llt L2, L3 суть числа элементарных
ячеек, которые укладываются вдоль каждой из сторон кристалла.
Каждый множитель в формуле (2.90) порядка единицы и быстро осциллирует
при изменении вектора К. Любой процесс усреднения по некоторой области
значений вектора К обратит это выражение в нуль. Исключение составляет
случай, когда область усреднения включает нули всех знаменателей. В таком
случае
e-iKi ==е-гК2 = е-гКз=: 1, (2.91)
что может быть выполнено, лишь если каждое из чисел К1г К2, К3 кратно 2п
с целочисленным коэффициентом. Но, согласно
4) Мы ввели здесь величину N = 1 lvc (число элементарных ячеек в мак-
роскопической единице объема кристалла) для того, чтобы функция СУ°а (к>
сохранила размерность энергии. Плоские волны (2.76), входящие в выражение
(2.84), также, очевидно, нормированы в макроскопической единице объема.
74
Гл. 2. Колебания решетки
определению (1.20), это есть условие совпадения вектора К с одним из
векторов обратной решетки g.
Если вектор К действительно равен вектору обратной решетки, то как
числитель, так и знаменатель в каждом сомножителе в выражении (2.90)
равны нулю. Возвращаясь тогда к исходной сумме, видим, что каждый ее член
при этом имеет вид exp (-ig-l) и, следовательно, точно равен единице, а
сама сумма равна N. Отсюда вытекает важное правило
(2-92)
i
где 6-символ равен нулю, если К не совпадает с одним из векторов обратной
решетки g.
Подставляя выражение (2.92) в равенство (2.86), получаем
eMk'k = fa (g) St'-k, gt (2.93)
что в точности совпадает с полученным ранее результатом (2.78).
Пусть теперь в кристалле возбуждены колебания решетки. Каждый атом смещен
из своего идеального положения в узле решетки:
Rt=? + Ul = ? + S (иче^ + и*е~^), (2.94)
q>
где величина Uq, как и в формулах (2.8) и (2.10), есть векторная
амплитуда колебания с волновым вектором q; сумма берется только по
полупространству векторов q и для вещественности смещений добавляется
комплексно сопряженное слагаемое Uq = U_q.
Подставляя вектор (2.94) в структурный множитель (2.86), получаем
2 e-iK.Ri = i_ 2 ехр [._ ж. { г + 2 (IV*-* + Ще-^)} ] =
I I q>
= т2 [е^К'гПехР{-ж-(иче1ч'г + и?е"'ч-г)}]- (2-95)
I q>
Это равенство точное. Разложим теперь экспоненциальные функции, аргумент
которых пропорционален вектору Uq (по предположению, это малое смещение):
exp { - iK* (IV*1* -f Ще-*ч'г)} =
= 1-гК.(и"е*-г + Ще-;ч-г)-|К.и"|2 ... . (2.96)
Подставим это в формулу (2.95). После вычисления произведения появится,
очевидно, член типа (2.90), который описывает дифракционную картину для
идеальной кристаллической струк-
§ 7. Дифракция на кристалле с колеблющейся решеткой 75
туры. Далее будет следовать сумма всех членов, линейных по К • XJq, т. е.
выражение вида
I q q I
= 2(-iK.Uq)6K-q,g; (2.97)
q
здесь принято во внимание равенство (2.92). Как мы увидим в § 9 настоящей
главы, квадрат модуля в (2.96) также бывает важен, ибо имеет неизменный
знак.
Чтобы понять смысл этого результата, рассмотрим два случая. На фиг. 32, а
вектор К лежит в зоне Бриллюэна. Это означает,
Зона Бриллюэна Зона Бриллюэна
Фиг. 32. а - нормальные процессы; б - процессы переброса.
что волновой вектор к' рассеянного электрона (или рентгеновского луча,
или нейтрона) отличается от исходного вектора к не более чем на половину
вектора обратной решетки. По условию волновые векторы q ограничены зоной
Бриллюэна, так что в сумме (2.97) остается только слагаемое с вектором q
= К. Другими словами, матричный элемент для такого перехода будет
^к.к= _1{(к'-к).и"}Га(к'-к), (2.98)
где
q = к' - к. (2.99)
Если же вектор К не лежит в пределах первой зоны
Бриллюэна (фиг. 32, б), то в сумме (2.97) остается один член.
Именно
существует вектор q, такой, что К - q = g, т. е.
q = к' -к - g. (2.100)
76
Гл. 2. Колебания решетку
Зона Бриллюэна, будучи элементарной ячейкой обратной решетки, может быть
повторена так, чтобы точно покрыть все пространство векторов К; любой
вектор К можно однозначно построить из некоторого вектора g - вектора
трансляции в обратной решетке - и вектора q, который, по определению,
лежит в пределах одной элементарной ячейки этой решетки. В соответствии с
§ 5 гл. 1 вектор q есть вектор К, приведенный к первой зоне Бриллюэна.
Итак, в обоих случаях справедлива формула (2.98), причем подходящее
значение вектора q определяется одним из соотношений (2.99) и (2.100);
если в полный набор векторов обратной решетки включить и вектор g = 0, то
соотношение (2.100) будет применимо всегда. Рассеяние идет в любом
направлении, но его амплитуда зависит от амплитуды тех колебаний решетки,
волновой вектор которых удовлетворяет указанным условиям.
§ 8. Фононы
Возможность рассеяния определяется не только тем, обращается или не
