Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
утверждений обычно дается в связи с решением уравнения Шредингера для
квантовой частицы в сферически симметричной потенциальной яме. Те же
рассуждения применимы, однако, и к волнам в сплошных средах и в
регулярных решетках.
ГЛАВА 3
ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ
Есть шестьдесят девять способов сочинять песни племен, и каждый из них
правильный.
Киплинг
§ 1. Свободные электроны
Рассмотрим твердый натрий. Каждый атом его содержит
11 электронов. Но 10 из них находятся в состояниях, которые сильно
связаны с ядром и образуют ион с суммарным положительным зарядом + | е |.
В свободном атоме остающийся электрон движется по некоторой орбите в поле
этого иона. Когда атомы сближаются, образуя твердое тело, эти орбиты
перекрываются. Перекрытие, как можно показать, оказывается настолько
сильным, что схема квантования, в которой каждый электрон локализован
вблизи своего атома, становится непригодной. Ее необходимо заменить
схемой, в которой волновая функция электрона представляет собой решение
уравнения Шредингера для движения в поле всех ионов. Итак, с самого
начала мы различаем внутренние электроны, которые рассматриваются как
почти полностью локализованные, и валентные электроны, или электроны
проводимости, которые надо описывать функциями Блоха; последние отличны
от нуля во всем кристалле.
В настоящей главе мы воспользуемся одноэлектронной моделью, т. е.
пренебрежем всеми взаимодействиями, обусловленными кулоновским
отталкиванием, между валентными электронами. Соответствующие эффекты -
корреляция и обмен - рассматриваются в гл. 5. При описании взаимодействия
внутренних электронов друг с другом или с валентными электронами такие
эффекты обычно включают в определение потенциала Уг (г), действующего на
каждый валентный электрон при его движении в кристалле. Предполагается,
например, что потенциал Т (г) вычислен как хартриевский или хартри-
фоковский потенциал ионов.
Радикального упрощения достигают, предполагая, что потенциал ТГ (г)
постоянен. При этом электроны автоматически оказываются в состояниях,
описываемых плоскими волнами
[k) = i|)k = eik,r
(3.1)
"6
Гл. 3. Электронные состояния
с энергией
?(к) = 4^. (3.2)
Как мы видели в § 5 гл. 1, эти состояния удовлетворяют теореме Блоха.
Поверхности постоянной энергии суть сферы в к-про-странстве. Разрешенные
значения вектора к распределены в этом пространстве с плотностью F/8jx3.
На самом деле каждому значению вектора к отвечают два состояния электрона
с противоположно направленными спинами. Если в единице объема
конфигурационного пространства имеется ZN электронов (т. е. Z электронов
на атом, 1 атом на элементарную ячейку и N элементарных
ячеек на единицу объема), то, чтобы удовлетворить принципу Паули, нужно
заполнить все состояния с волновыми числами, не превосходящими kF, где
>=ZN'
ИЛИ
А^ = (Зя2гло1/3. (3.3)
Говорят, что поверхность Ферми представляет собой сферу с радиусом kF
(фиг. 36). Энергия Ферми, или уровень Ферми, - это максимальная энергия,
достижимая при таком распределении электронов:
§ 2. Дифракция валентных электронов
97
Заметим, что радиус сферы Ферми сравним с радиусом сферы Дебая.
Действительно, из сопоставления соотношений (3.3) и (2.53) получаем
^=(4)VV (3.5)
Это означает, что длина волны электрона на уровне Ферми сравнима с
межатомным расстоянием
<3-6)
где rs есть радиус сферы Вигнера - Зейтца.
§ 2. Дифракция валентных электронов
Об ограниченности модели свободных электронов свидетельствует только
что полученный результат: электроны на уровне Ферми находятся в
состояниях с длиной волны, сравнимой с постоянной решетки. При этом
должны иметь место сильные дифракционные эффекты, даже если потенциал Т
(г) не слишком заметно отличается от постоянного. Будем рассматривать
этот потенциал как возмущение и положим
% (к) = + (к | Т\ к) + ^' 1 %ГуТ'* ' <3-7)
к- к к'
где применяются дираковские обозначения матричных элементов потенциала
между невозмущенными состояниями (3.1) и
(3.8)
Зк
2т
Очевидно, потенциал (г) обладает периодичностью решетки. Как показано в §
6 гл. 2, в таком случае матричные элементы его обращаются в нуль, если
вектор (к - к') не равен какому-либо вектору обратной решетки. Принимая
во внимание равенство (2.78), получаем немедленно
I '?а* I2
g(k)=gfc+y0+s > (з-9>
йфо k k g
где Tg есть фурье-компонента потенциала Т для вектора обратной решетки g
[как и в формуле (1.15)].
Возникает вопрос: насколько удовлетворительно такое разложение? Должны
быть выполнены два условия:
1) фурье-компоненты V& должны быстро стремиться к нулю при увеличении
вектора g;
98
Гл. 3. Электронные состояния
2) не должно быть вырождения невозмущенных состояний, связываемых
возмущением, т. е. не должно иметь место равенство
*0 ___ s?o
(c)к - (c)k-g-
(3.10)
Граница зоны Бриллюэна
Условие 1 пока не будем рассматривать (мы вернемся к нему позже).
Условие вырождения (3.10) эквивалентно равенству
I к | = | k - g |. (3.11)
Геометрически это означает, что конец вектора к лежит на перпендикуляре к
