Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
а -
Фиг.
53. Размытие атомных уровней в энергетические
атомов.
юны при сближении
гралы типа (3.29) с тем, однако, отличием, что атомные функции под знаком
интеграла могут теперь соответствовать различным уровням атомов,
расположенных в разных узлах решетки.
Метод линейных комбинаций атомных орбит (JIKAO) широко применяется в
квантовой химии для построения волновых функций молекул. Однако он не
очень удовлетворителен для количественного расчета функций Блоха в
твердых телах. Дело не только в вычислительных трудностях, с которыми мы
сталкиваемся, оперируя с трехцентровыми интегралами и с неортогональными
базисными функциями: есть и принципиальные возражения против
представления состояний валентных электронов в полупроводниках или в
металлах с помощью выражений типа (3.31).
При образовании твердого тела потенциал каждого атома перекрывается с
потенциалами его соседей. Допустим по простоте душевной, что отдельные
атомные потенциалы просто складываются (фиг. 54 и 55). При этом главные
потенциальные ямы будут центрированы около атомных ядер, а в промежутках
между ними образуются области постоянного пониженного потенциала. Ясно,
что в этих условиях индивидуальные атомные функции, фигурирующие в
(3.31), уже не существуют, ибо соответствующие им уровни энергии были бы
выше межатомных барьеров. В принципе нехорошо выражать функции Блоха в
поле ?' (г) через собственные функции уравнения с совершенно другим
потенциалом va (г),
114
Гл. 3. Электронные состояния
вдобавок, удовлетворяющие еще граничным условиям, не имеющим отношения к
данной задаче [фа (г) быстро стремится к нулю при т ->- оо]. При этом
надо было бы сместить все узлы волновых функций, что не так-то легко.
Во всяком случае, рассматриваемый набор функций не полон, поскольку в нем
недостает собственных функций уравнения Шре-
Фиг. 54. Связанные состояния свободного атома.
дингера, составленных из рассеянных волн и принадлежащих непрерывному
спектру - области энергий, расположенной выше нуля, от которого
отсчитывается потенциал иа (г). Хотя внутри атомного остова выражение
(3.31) можно довольно хорошо подогнать к функции грь, оно не может
претендовать па описание бло-
ховских функций в промежуточной области - там эти функции похожи скорее
на какие-то простые комбинации обычных плоских волн (см. § 6 настоящей
главы).
Этим методом, однако, устанавливается одна важная общая закономерность.
Согласно формуле (3.26), энергию в k-прострапстве можно разложить в ряд
Фурье
g(k) = 2eik-'^. (3.32)
i
Можно показать, что разложение такого типа справедливо всегда (метод
линейных комбинаций атомных функций, будучи проведен точно и до конца,
дает энергию именно в таком виде),
§ 5. Метод ячеек
115
хотя коэффициенты Ш1, вообще говоря, не выражаются простыми интегралами
типа (3.27) или (3.29) и могут пе обеспечивать быстрой сходимости ряда
при больших значениях вектора I.
Вспомним теперь, что векторы прямой решетки, I, сами суть обратные
векторы по отношению к векторам обратной решетки g (п. 4 § 3 гл. 1).
Формула (3.32) аналогична выражению
3^ (г) = 2 eiT-&Tg, (3.33)
g
справедливому для периодической функции Т'(т), т. е. 5r{v-\-l) = =
tjT(г). Таким образом, энергия в каждой энергетической зоне должна быть
периодической функцией е обратной решетке:
Ш (k + g) - % (к). (3.34)
В предыдущем параграфе это свойство уже было отмечено.
Представление (3.32) иногда оказывается удобным; при этом
функция Ш (к) автоматически удовлетворяет условию периодич-
ности. Если рассматривать коэффициенты Шь как параметры, которые можно
подбирать, то часто оказывается возможным согласовать наблюдаемую
поверхность Ферми с этой формулой. В качестве интерполяционной формулы
она несколько меньше обоснована с "физической" точки зрения, чем
соответствующая формула модели почти свободных электронов, в которой
фуръе-компоненты "Тg рассматриваются как параметры. Однако на основе этой
формулы легче вести вычисления, поскольку она выражает энергию
непосредственно в виде суммы простых аналитических функций.
§ 5. Метод ячеек
Одно из возражений против метода ЛКАО можно снять, если воспользоваться
функциями, удовлетворяющими условию Блоха (1.58). Последнее означает, что
волновая функция должна умножаться на exp (tk-Z) при смещении ее на
вектор решетки I (например, от одной грани элементарной ячейки к другой).
Другая возможность состоит в том, чтобы написать дифференциальное
уравнение для функции ик (г), фигурирующей в формуле
¦фк (г) = eik'ruk (г). (3.35)
Согласно известной формуле (1.61), эта функция должна быть периодической
в прямой решетке.
В одномерном случае это выглядит довольно просто. Можно,, например,
выбрать какое-то значение Щ, проинтегрировать уравнение, посмотреть,
удовлетворяется ли условие периодичности, изменить значение Ш и т. д.
Однако в случае трех измерений такой подход громоздок. Условие (3.34)
должно выполняться на всей
116
Гл. 3. Электронные состояния
поверхности элементарной ячейки, т. е. на бесконечном множестве точек.
