Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
у2
= У2 cos irGr
(3.21)
т|)+ = }/~2i sin-|- Gr.
(3.22)
Фиг. 39. Энергия электрона в одномерном случае (схема расширенных зон).
Фиг. 40. Периодический потенциал и концентрация электронов в состояниях
s- и р-типа.
102
Гл. 3. Электронные состояния
Таким образом, функция | г|5- |2 велика вблизи точки г = 0, а также
вблизи любого узла рассматриваемой линейной цепочки. Она описывает
состояние, в котором электроны сконцентрированы вблизи атомов. Этого как
раз и следовало ожидать. Отрицательные величины f'G соответствуют
периодическому потенциалу (фиг. 40), который сам отрицателен вблизи
каждого атома, т. е. потенциалу притяжения для электронов. Таким образом,
энергия в состоянии с волновой функцией г|з" понижена за счет захвата
электрона потенциальными ямами атомов. Подобным же образом энергия в
состоянии с волновой функцией г|5+ увеличена, так как теперь плотность
электронов больше в областях с положительным потенциалом. По аналогии с
классификацией атомных состояний можно сказать, что функция г|5~
описывает состояние s-тина, а функция г|5+ -состояние /ьтипа.
Заметим, между прочим, что разложение (3.12) обеспечивает выполнение
теоремы Блоха (1.58) для функции ij)k. Можно написать
г|)к = eik-r S ost-ge-1*-' = eik*rUk (г), (3.23)
где ик (г) - периодическая функция с периодом решетки [как и в формуле
(1.60)].
Видно также, что волновые функции в точках А и А' на фиг. 39
тождественны; обе они даются формулой (3.21). Аналогично функция i|j+
(1/2G) совпадает с точностью до постоянной с функцией ^>+ (-VjG), так что
точки В и В' на зонной схеме фиг. 38 и 39 эквивалентны. Здесь мы
сталкиваемся с проявлением закономерностей, рассмотренных в § 5 гл. 1,
где было показано, что волновой вектор любого состояния определен лишь с
точностью до вектора обратной решетки.
§ 3. Модель почти свободных электронов
Закономерности, установленные в одномерном случае, можно обобщить на
случай трех измерений. Рассматривая изменение функции Щ (к) по некоторому
определенному направлению в к-про-сгранстве, легко убедиться, что она
изображается параболой, характерной для свободного электрона; при
пересечении границ зоны Бриллюэна функция Щ (к) испытывает разрывы (фиг.
41). Величина разрыва зависит от интенсивности соответствующей фурье-
компоненты потенциала. Если граница зоны Бриллюэна перпендикулярна
вектору обратной решетки G и делит его пополам, то по порядку величины
разрыв будет равен 2 \<?'& \. Такой разрыв появляется всякий раз, когда
линия постоянной энергии пересекает границу зоны. Таким образом, сфера
свободных электронов, которая проходила бы через точку О (фиг. 42),
расщепляет-
§ 3. Модель почти свободных электронов
103
ся на отрезок гиперболоида S, расположенный внутри зоны и описываемый
одним из корней] (3.17), и ветвь S', лежащую за границей зоны.
Следовательно, функция % (к) непрерывна внутри первой зоны Бриллюэна, но
испытывает разрыв при пересечении границы
J
Фиг. 41. Функция % (к) имеет разрывы на границах зоны Бриллюэна
вдоль линии ОАВ.
этой зоны в любой точке. Отсюда вытекает один из наиболее замечательных
выводов теории: некоторым значениям энергии могут не соответствовать
никакие электронные состояния, иначе говоря в энергетическом спектре
могут появиться щели.
Электронные уровни энергии образуют энергетические зоны. Это -
фундаментальное свойство; оно обусловливает многие другие свойства
металлов и полупроводников. Природа его - в брэгговском отражении. На
электронные волновые функции "накладывается" периодичность решетки, что и
приводит к расщеплению энергии.
Рассмотрим теперь задачу об определении функции % (к). Вычисления
предыдущего параграфа подсказывают путь ее решения. Воспользуемся
уравнениями (3.14) для коэффициентов разложения (3.12). Выделим все
члены, соответствующие коэффициентам при волновых функциях, которые могут
перемещаться по причине близости точки к к границе зоны Бриллюэна. Решая
соответствующее секулярное уравнение, найдем
Фиг. 42. Разрыв линий постоянной энергии на границе зоны Бриллюэна.
104
Гл. 3. Электронные состояния
энергию % (к). Далее, с помощью ряда теории возмущений типа (3.9) можно
найти поправки к полученному решению, учитывающие влияние прочих фурье-
компонент потенциала.
Эта процедура называется методом почти свободных электронов. Им можно
пользоваться, если ряд, содержащий фурье-ком-поненты Тg, быстро сходится.
Такая сходимость, однако, представляется неправдоподобной. Действительно,
функция V'(r) есть потенциал системы ионов. Известно, что поле вблизи
центра пона очень сильное - функция Т(т) имеет глубокий и резкий провал
вблизи каждого узла решетки. Следовательно, она имеет
Фиг. 43, Разрывы функции % (к) могли бы возникнуть в точках A'i, Х2, Х3,
Xi в прямоугольной обратной решетке,
и фурье-компоненты с очень малой длиной волны. Поэтому величина может
быть велика для значений длин g, во много раз превышающих размеры первой
зоны Бриллюэна. Кроме того, можно утверждать, что функция ipt (г) внутри
