Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
89
мер жидкостей или стекол. И все же, даже ограничившись рассмотрением
только изолированных дефектов, например атомов
замещения с другой массой, мы уже сможем понять ряд интересных физических
явлений.
Существенные моменты рассуждения обычно затемняются множеством
тривиальных деталей. Чтобы уменьшить кажущуюся сложность вычислений,
воспользуемся абстрактными матричными обозначениями, в которых, например,
общие уравнения колебаний идеальной решетки Бравэ принимают вид
L (v2) и = 0 (2.135)
вместо
Mv2u,-2G,,.ur = 0. (2.136)
i'
В этих уравнениях, не отличающихся по существу от уравнений (2.5),
столбец и заменяет набор векторов смещения иг для колебания с частотой v
при межатомных силах, характеризующихся константами Gjj-. Динамическая
матрица L имеет симметрию решетки. Согласно § 1 настоящей главы, каждая
фононная частота v = vq есть корень уравнения (2.135). Взяв такой корень
и решая с ним уравнение (2.13) для собственных векторов, можно найти
нормированный вектор поляризации Uq, соответствующий данному фононному
состоянию
и< = (2.137)
Предположим теперь, что мы изменили на 8М массу атома в в узле I = 0
(фактически это произвольный узел) и (или) изменили на 6Gц> константы
взаимодействия этого атома с его соседями в кристалле. Тогда динамические
уравнения (2.136) примут вид
lfv2uj - 2 + SA/v2u0 + 2 SGir-ui' = 0. (2.138)
Символически это можно записать следующим образом:
L и + 6Lw = 0. (2.139)
Таким образом, изменение физической системы проявляется как возмущение
динамической матрицы первоначально идеального
кристалла.
В специальном случае линейной цепочки [ср. (2.15)] эти уравнения можно
решить более или менее непосредственно. Однако метод функций Грина имеет
более широкую область применимости; вместе с тем он, вероятно, и не
сложнее. Фокус состоит в том, чтобы переписать уравнение (2.138) в
алгебраически эквивалентном виде
(1 + R6L) и = 0, (2.140)
"о
Гл. 2. Колебания решетки
где резольвента, или функция Грина R, есть матрица, обратная динамической
матрице L. Если матрица R существует и ее можно вычислить, то остается
лишь решить линейные уравнения, записанные символически в виде (2.140).
Резольвента должна зависеть от v2, поскольку она определяется абстрактной
формулой
R (v2) L (v2) = 1. (2.141)
Нетрудно убедиться, что собственные векторы (2.137) дают нам полное
решение задачи: пользуясь свойством ортогональности этих векторов как
решений (2.13) и проводя стандартные вычисления, получаем для матрицы R
(v2) выражение
, и*и
R"' M = (2.142)
q 4
Для простоты мы здесь опять предполагаем, что суммирование по всем
волновым векторам q включает также и суммирование по различным состояниям
поляризации фононов. В правой части (2.142) подразумевается обычное
тензорное произведение двух декартовых векторов, дабы отразить тот факт,
что динамическая матрица представляет собой тензор. Это, однако, тоже
есть довольно тривиальное обобщение формул,-которые можно было бы
написать, например, для одномерной цепочки.
В принципе мы могли бы вычислить сумму в (2.142) для всех значений
разности (I - Г). Практически, однако, в этом нет необходимости,
поскольку возмущение 5L предполагается сильно локализованным в
окрестности дефектного узла. Пусть, например, в качестве примеси взят
изотоп. Тогда в уравнении (2.138) фигурирует только изменение массы.
Подставляя (2.142) в (2.140), получаем уравнение только для и0 - вектора
смещения, относящегося к дефектному узлу. Это уравнение содержит лишь
сумму, определяющую R00 (v2):
{'+4гт2да - 0. (2.143)
q 4
Условие обращения в нуль детерминанта 3-го порядка, соответствующего
тензору в фигурных скобках, дает уравнение для v2, т. е. определяет
частоты нормальных колебаний решетки, содержащей дефекты. В более сложных
случаях, когда изменяются и силовые постоянные, относящиеся к нескольким
узлам, получатся, очевидно, аналогичные уравнения, однако порядок
детерминантов будет более высоким.
К сожалению, эти уравнения трудно решить - даже элементарный случай
изотопа в качестве примеси замещения исследован только численно. Однако,
чтобы попять, что происходит, достаточ-
§ 12. Колебания неидеальной решетки
91
но рассмотреть равенство (2.143) как скалярное уравнение, игнорируя
геометрические факторы (вроде векторного характера и0). Тогда частоты
нормальных колебаний будут корнями уравнения вида
1+эт2-^г = 0. (2.144)
q
Эти корни можно найти графически (фиг. 34). Мы ищем точки, в которых
функция
/М-s-З^з-
q 4
пересекает горизонтальную линию, отвечающую ординате
(-м/т).
Фиг. 34. Графическое решение уравнения (2.143) для спектра колебаний
решетки с изотопной примесью.
Пусть, например, величина бМ отрицательная. Тогда каждый корень уравнения
(2.144) должен лежать выше соответствующего полюса Vq функции / (v2);
частоты нормальных колебаний возмущенной системы располагаются между
частотами для идеального кристалла. Но величины vq распределены всюду
плотно, образуя зону: расстояния между ними стремятся к нулю как 1/N.
