Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
что результирующее выражение будет подобно (2.72). В справедливости
сказанного легко убедиться, сдвинув область интегрирования так, чтобы
включить в нее рассматриваемый пик целиком. Интегрировать можно по любой
элементарной ячейке обратной решетки; зона Бриллюэна выбирается лишь для
простоты.
68
Гл. 2. Колебания решетки
Рассмотрим теперь путь ММ, соединяющий два максимума. Функция vq должна
меняться вдоль него; в некоторой точке X она достигнет своего
минимального значения на этом пути. Будем теперь произвольным образом
сдвигать наш путь. Тогда возникнет серия точек X, X, X. Они образуют
другой непрерывный путь; он неизбежно должен пройти через точки т,
поскольку
В НИХ функция Vq ДОСТИ-
гает абсолютного минимума.
Рассмотрим теперь путь тт, проходящий между двумя минимумами. На (т) этом
пути должен быть по крайней мере один максимум S. Это седловая точка; она
соответствует минимуму на пути типа ММ и максимуму на пути типа тт. Таким
образом, наша функция vq имеет по крайней мере одну критическую точку
типа S.
В общем трехмерном случае при наличии трех акустических ветвей спектра
рассуждения усложняются. В центре зоны Бриллюэна (т. е. в точке q = 0)
достигается абсолютный минимум для всех трех ветвей, но функцию vq здесь
нельзя разложить в ряд Тейлора, а скорость не обращается в нуль. Кроме
того, поперечные ветви неразличимы и потому частоту vq надо рассматривать
как двузначную функцию q. Однако теорема в том виде, в каком она была
сформулирована, по-прежнему справедлива для всей спектральной плотности.
Разумеется, истинное число критических точек может значительно превышать
минимальное их число, указанное в теореме.
Другой возможный выбор элементарной ячейки обратной решетки
Фиг. 28* Отыскание седловой точки.
§ 6. Дифракция на идеальном кристалле
Если бы все атомы кристалла занимали точно предназначенные для них узлы
решетки, то все наблюдаемые физические величины, связанные с кристаллом,
были бы строго периодическими функциями. Например, потенциальная энергия
электрона удовлетворяла бы условию
Г (г + I) = Т (г).
(2.74)
§ 6. Дифракция на идеальном кристалле
69
Пусть на кристалл направлен пучок быстрых электронов. При рассеянии на
таком потенциале будут происходить переходы электронов из одного
состояния в другое. В борцовском приближении теории возмущений
вероятность перехода из начального состояния с волновой функцией Yk в
конечное ('Ff) пропорциональна квадрату матричного элемента
<#k<k = j Wfr (г) Г (г) Yk (г) dr. (2.75)
Возьмем волновые функции в виде плоских волн
4rt = eik-r. (2.76)
Согласно формуле (1.15), потенциал можно разложить в ряд Фурье
(2.77)
Таким образом,
a?k,k = j e-ik'.r 2 fr'gei&'reik'rdr = ^ g g T'g, еслик+g-k'=0,l
О в других случаях. J
Если вектор к фиксирован, т. е. электроны в падающем пучке монохроматичны
и имеют точно определенное направление дви-
j ег (k+g-k') -г dr =
(2.78)
Падающий
мЯ0
гв
ПУЧ°К Кристалл ^^Р^лографичес- h
Фиг. 29. а - дифракция рентгеновских лучей;
Эвальда.
б - построение сферы
жения, то дифрагированные пучки можно наблюдать только в направлениях,
соответствующих волновым векторам
к' = к + g, (2.79)
где g -один из векторов обратной решетки кристалла.
В данном случае надо еще потребовать, чтобы энергии дифрагированного и
падающего пучков были одинаковы, т. е. чтобы соответствующие волновые
векторы имели одинаковые длины. Это
70
Гл. 2. Колебания решетки
накладывает ограничение на угол рассеяния. Обозначим через 20 угол между
векторами кик', тогда
| g | = 2 | к | sin 0. (2.80)
Чтобы удовлетворить этим геометрическим условиям в обратном пространстве,
построим сферу Эвальда (фиг. 29, б), радиус ОР которой равен волновому
вектору падающего луча. Если начало координат в обратной решетке
поместить в точку Р, то вектор g должен перевести нас в точку Q, причем
OQ совпадает с волновым вектором к'. Следовательно, дифракция возникает
при таких ориентациях кристалла относительно падающего луча, при которых
точка обратной решетки попадает на сферу.
То же самое можно выразить и иначе. Как показано в § 3 гл. 1, длина
вектора обратной решетки обратно пропорциональна расстоянию d между
плоскостями, к которым этот вектор перпендикулярен,
|g| = ^, (2-81)
где п - целое число (общий наибольший делитель компонент вектора g
относительно тройки осей в обратном пространстве). Соответственно
обозначив через Я длину волны падающих электронов, получим из формул
(2.80) и (2.81):
пХ = 2d sin 0. (2.82)
Это соотношение известно как закон отражения Брэгга *). Его нетрудно
вывести, рассматривая соотношения между фазами
пучков, отраженных от последовательно идущих плоскостей решетки. Чтобы
дифрагированные пучки были когерентны, на избыточном пути А ВС (фиг. 30)
должно укладываться целое число длин волн.
Величина матричного элемента рассеяния зависит от функции ТГg. Могло бы
показаться, что для электронов эта функция есть фурье-образ локального
потенциала. Однако для очень медленных электронов это, по всей
