Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
общем случае.
2. Предположим, что состояние | 0) вырождено. Пусть для простоты это
состояние вырождено двукратно, так что заведомо существуют две различные
функции | 0 \ и | 0 )2, отвечающие одной и той же энергии. Тогда
трансляция на вектор решетки а! приведет самое большее к линейной
комбинации тех же двух функций. Поэтому
| ai)i = TJ110>! -f- Tj210)2,
| а,>2 = Tf 10), + Tf 10)2. 1
Числа Т}1 и т. д. потому и записаны таким образом, что они составляют
элементы некоторой матрицы TV Последняя должна быть унитарной, чтобы
сохранить нормировку. Для краткости напишем пару уравнений (1.49) в виде
(la,)) = Т1(]0". (1.50)
§ 4. Теорема Блоха
33
Заметим теперь, что функции | 0)х и | 0)2, будучи вырождены, не
определены однозначно. Мы могли бы начать с любых других двух функций,
представляющих собой линейные комбинации первых. Например, мы могли бы
начать с функций
где числа S11 и т. д. суть элементы другой (произвольной) унитарной
матрицы S.
Выберем теперь S таким образом, чтобы матрица STxS-1 была диагональной.
Из алгебры известно, что это всегда можно сделать. Пусть, например,
последняя матрица имеет вид
Тогда нетрудно показать, что состояния | 0}х и j 0}а преобразуются при
трансляциях точно так же, как если бы они были не вырождены, именно в
соответствии с формулами (1.42) - (1.45):
Состоянию | 0}х отвечает волновой вектор с компонентой Aj в направлении а
состоянию | 0}2 - волновой вектор с компонентой к[ (вообще говоря,
отличной от в том же самом направлении.
Посмотрим теперь, что можно сказать о трансляциях в других направлениях.
Выберем направление а2. Если взять начальные состояния | 0 >i и | 0 >2,
то результат трансляции в этом направлении будет определяться другой
матрицей Т2, что в символической записи [имеющей тот же смысл, что и
ранее, см. формулы (1.49) и (1.50)] примет вид
Мы могли бы теперь выбором подходящих начальных функций привести матрицу
Т2 к диагональному виду [см. формулу (1.52)]. На первый взгляд кажется,
что эти функции несовместимы с функциями, применяемыми при диагонализации
матрицы Рас-
смотрим, однако, два возможных преобразования:
Отсюда видно, что матрицы и Т2 коммутируют друг с другом. В теории матриц
есть теорема, гласящая, что тогда существует унитарная матрица S, такая,
что с ее помощью обе матрицы Тх и Т2 можно одновременно привести к
диагональному виду. Следо-
|0}1 = S11|0)i + S12|0)2, |0}2 = S21|0)i + S22|0)2,
(1.51)
(1.52)
I а^! = 10}i, | ai}2 = 10}2.
(1.53)
(I a2 " = T2 (I 0 ".
(1.54)
(| a4 -f a2)) =
T2(|a1" = T2T1(|0>), Ti(|a2" = TiT2(|0".
(1.55)
34
Гл. 1. Периодические структуры
вательно, функции | 0}х и | 0}2 при трансляции а2 не будут
перемешиваться, а будут просто умножаться на фазовые множители
1 a2}i = eift*) 0}i, |a2}2 = e^J0}2. (1.56)
Подобный же результат справедлив и при трансляции на век-
тор а3, поэтому мы по существу возвращаемся к тем же формулам (1.45). Для
каждой из функций | 0}а и | 0}2 существует волновой вектор, такой, что
|^ = eik.t|0>. (1.57)
Очевидно, обобщение на случай более чем двух вырожденных функций
тривиально.
Таким образом, мы доказали теорему в общем виде. Любое решение,
отвечающее вырожденному значению энергии, можно представить в виде
линейной комбинации решений, отвечающих той же энергии, причем каждое из
них удовлетворяет условию рассматриваемого типй, хотя и не для всех
функций с одним и тем же вектором к.
Это и есть теорема Блоха. Ее можно было бы доказать и более общим методом
с помощью теории групп. Доказательство получается как естественное
следствие теоремы: "В поле комплексных чисел любое представление абелерой
группы можно разложить на сумму одномерных представлений". Группа
трансляций кристалла - абелева; это значит, например, что все элементы
группы коммутируют друг с другом. Последнее вытекает из того очевидного
факта, что, скажем, трансляция (ах-f- а2) тождественна с трансляцией (а2
-f- а*): мы можем подойти к точке решетки различными путями, но результат
всегда будет один и тот же. Матрицы Т1; Т2 и т. д. дают представление
этих трансляций, и потому их можно привести к диагональному виду.
§ 5. Приведение к зоне Бриллюэна
Теорема Блоха имеет такую общность, что на данном этапе
это даже трудно осознать. В случае электронных волн из нее
следует, что каждую волновую функцию можно охарактеризовать ее волновым
вектором к и написать
iMr + Z) = e*-4k(r). (1.58)
Заметим, что этому условию удовлетворяет и обычная волновая функция
свободного электрона
Ыг) = е*-Г. (1.59)
Этого и следовало ожидать, так как мы и в данном случае рассматриваем
решение уравнения Шредингера с периодическим
§ 5. Приведение к зоне Бриллюэна
35
потенциалом, но только сам потенциал оказывается повсюду равным нулю.
Такая проверка с помощью "пустой решетки" часто оказывается очень
полезной в теории твердых тел.
Иногда бывает удобно представить волновую функцию электрона
с данным значением к в виде, возможно более близком
к волновой функции свободного электрона. Положим
