Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Займан Дж. -> "Принципы теории твердого тела" -> 12

Принципы теории твердого тела - Займан Дж.

Займан Дж. Принципы теории твердого тела — М.: Мир, 1966. — 478 c.
Скачать (прямая ссылка): principiteoriitverdogotela1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 174 >> Следующая

5. Элементарная ячейка обратной решетки не обязательно представляет
собой параллелепипед.
Действительно, мы почти всегда будем работать с ячейкой Вигнера - Зейтца
в обратной решетке. Такая ячейка называется зоной Бриллюэна.
Для иллюстрации свойств обратной решетки рассмотрим важную и обычно
наблюдаемую структуру - гранецентрированную кубическую решетку. Она
строится из четырех взаимопроникающих простых кубических решеток,
расположенных таким образом, что если мы посмотрим на одну из них, то
увидим узлы Как в центре каждой грани ее элементарной ячейки, так и в
вершинах куба (фиг. 10, а).
Эта структура на первый взгляд выглядит как решетка с базисом,
образованная векторами (аж, ау, az) и содержащая четыре атома в
элементарной ячейке.
Однако если в качестве базисных векторов выбрать половины диагоналей
граней куба
^1 = ^0, 2 2 а' ~2~ ^) 1
/1 1 пч (1-35)
аз= , ~2-а, 0J,
то линейная комбинация этих векторов с целочисленными коэффициентами
может определить любой узел решетки (фиг. 10, б). Поэтому фактически
гранецентрированная кубическая решетка есть решетка Бравэ с базисными
векторами ab а2, а3.
28
Гл. 1. Периодические структуры
Теперь мы могли бы построить обратную решетку чисто алгебраическим путем.
Однако удобно воспользоваться отмеченными выше геометрическими
свойствами. Например, очевидно, что плоскости, перпендикулярные ребрам
куба, представляют собой важные плоскости решетки. По отношению к обычным
декартовым осям, направленным по векторам ах, ау, az, эти плоскости
должны иметь индексы Миллера (100), (010), (001) и т. д.; иными словами,
они относятся к набору плоскостей {100}. Нетрудно убедиться
Фиг. 10. Гранецентрированная кубическая решетка, о - как четыре
взаимопроникающие подрешетки; б - как решетка Бравэ.
также, что эти плоскости отстоят друг от друга в пространстве на
расстоянии а/2. Следовательно, им соответствуют векторы обратной решетки,
имеющие длину
и направленные вдоль осей прямоугольной декартовой системы координат в
обратном пространстве. Наша обратная решетка должна включать в себя всю
простую кубическую решетку, которая образуется этими векторами.
Кроме того, имеется важная плоскость решетки, которая перпендикулярна
диагонали кубической элементарной ячейки. Эта плоскость пересекает все
три оси на равных расстояниях от начала координат и поэтому должна иметь
индексы из набора {111}. Такие плоскости удалены друг от друга на
расстояние, равное 1/3 длины всей диагонали куба, т. е. на расстояние
а/]/3. Поэтому соответствующий им вектор обратной решетки имеет полную
§ 3. Свойства обратной решетки
29
длину 2л]ЛЗ/а и одинаковые проекции на оси координат; он должен иметь вид
g'=~(l, 1, 1). (1.36)
Этот вектор, очевидно, направлен вдоль диагонали кубической элементарной
ячейки в обратном пространстве, и длина его равна половине длины этой
диагонали (см. фиг. 11). С помощью этого вектора мы получаем центры кубов
простой кубической решетки.
Фиг. 11. а - плоскости {111} в гранецентрированной решетке; б -
соответствующая ячейка обратной решетки.
Теперь можно изучить и все другие плоскости решетки (например, существуют
направления {110}, перпендикулярные диагоналям граней основного куба), но
при этом оказывается, что соответствующие этим плоскостям векторы
обратной решетки совпадают с векторами, отвечающими плоскостям {100} и
{111}. Таким образом, решетка, обратная гранецентрированной кубической,
есть объемноцентрированная кубическая решетка (и, конечно, наоборот).
Зона Бриллюэна гранецентрированной кубической решетки есть ячейка Вигнера
- Зейтца обратной решетки. Мы уже видели ее (см. фиг. 4, б); это
многогранник с квадратными и шестиугольными гранями. Центрам квадратных
граней соответствуют направления нормалей к плоскостям куба прямой
решетки. Центры шестиугольных граней соответствуют нормалям к
диагональным плоскостям.
Интересно отметить далее, что гранецентрированная кубическая структура
"плотно упакована". Ее можно построить путем последовательного наложения
плоскостей (111), каждая из которых представляет собой сетку
шестиугольников, составленную как бы из твердых шаров. В этом состоит
одна из причин того, что такая структура встречается у металлов, в
которых связь вызвана не большими направленными силами, а представляет
собой в значительной степени объемный эффект.
30
Гл. 1. Периодические структуры
§ 4. Теорема Блоха
Мы знаем теперь, как изображать функции, обладающие периодичностью
решетки. Этого, однако, недостаточно для физической теории; нужно еще
рассмотреть различные возбуждения, которые нарушают точную трансляционную
симметрию рассматриваемой структуры. Существует несколько типов таких
возбуждений; из них наиболее важны колебания решетки, т. е. колебания
атомов около их положений равновесия, а также электронные состояния,
отвечающие движению электронов в поле покоящейся решетки. В гл. 10 будут
рассмотрены также спиновые волны, которые представляют собой возбуждения
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 174 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed