Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
выбранного центра нужно провести векторы трансляций к ближайшим
эквивалентным узлам решетки; затем построить плоскости, перпендикулярные
этим векторам и проходящие через их середину. Тогда область, которую
ограничат все такие плоскости, будет, очевидно, элементарной ячейкой. Все
точки этой области лежат ближе к выбранному центру, чем к любому другому
узлу решетки.
Элементарная ячейка может содержать один или более атомов. Если она
содержит только один атом, мы помещаем его в узел решетки и называем
такую структуру решеткой Бравэ. Если на одну элементарную ячейку
приходится несколько атомов, то мы имеем решетку с базисом. В дальнейшем
мы чаще всего будем предполагать без специальных оговорок, что
рассматриваемая структура представляет собой решетку Бравэ. Это делается
лишь для простоты; в действительности только несколько простейших твердых
тел (например, щелочные металлы) обладают такой структурой.
Перечислением и классификацией всех возможных типов кристаллических
структур, а также определением фактической структуры реальных твердых тел
занимается кристаллография. При этом структуры классифицируются в
соответствии с их свойствами симметрии - инвариантностью относительно
вращений вокруг каких-либо осей, отражений в плоскостях и т. д. Эти
свойства симметрии часто оказываются весьма полезными для упрощения
расчетов и могут быть эффективно использованы при решении вопроса о числе
параметров, необходимых для описания макроскопических свойств твердого
тела. Однако чтобы воспользоваться в полной мере преимуществами такого
подхода, необходим математический аппарат теории групп, изложение
которого увело бы нас слишком далеко от нашей главной темы. Если
ограничиться в основном рассмотрением очень простых твердых тел, то
большинство свойств симметрии можно обнаружить непосредственно, не
прибегая к формальному алгебраическому анализу. Во всяком случае,
существует много превосходных книг по кристаллографии, а также по теории
групп и ее применениям в теории твердых тел.
Фиг. 4. Объемноцентрированная кубическая решетка. а - кубическая
элементарная ячейка; б - базисные векторы решетки Бравэ; в - ячейка
Вигнера - Зейтца.
§ 1. Трансляционная симметрия
19
В этих книгах детально рассматриваются различные типы решеток Бравэ.
Здесь мы рассмотрим лишь один случай, который иллюстрирует многие
основные закономерности и представляет I! то же время большой
самостоятельный интерес, поскольку соответствующая структура
действительно реализуется в кристаллах некоторых химических элементов.
Речь пойдет об объемно-центрированной кубической решетке, изображенной на
фиг. 4.
Эта структура на первый взгляд представляет собой кубическую решетку с
двумя атомами в элементарной ячейке или две взаимопроникающие простые
кубические подрешетки, определяемые равенствами
Ъ = 1Хйх -f- lyUy -f- Iz&ZI
(1.2)
I' - -2_) ax+ [ly + -jj-) ay + + -g-) az,
где lx, ly, lz - целые числа. Если, однако, мы напишем
ai = ~2 ( - а* + аУ "Ь az)'
a2 = _2_(ax - ay + az)> (1-3)
&з - ~2 (аж "Ь ау az) 1
то векторы всех точек обеих подрешеток будут
^ = ^1а1 Ч- ^2а2 "t" ^ЗаЗ" (^•'^)
где llt 12, 13 - целые числа. Если сумма (1г + Z2 + h)
нечетная,
то мы попадаем в центр куба, если четная - в его
вершины.
Таким образом (фиг. 4, б), это действительно решетка Бравэ. Вместо
кубической элементарной ячейки можно рассмотреть и ячейку Вигнера -
Зейтца (фиг. 4, в), для построения которой нужно "отрубить" вершины куба
на половине их расстояния до центра. Получаемая фигура имеет, очевидно,
ту же симметрию, что и куб, например исходные векторы аж, ау, а2 задают
оси симметрии четвертого порядка.
Из фиг. 4, в видно также (вероятно, яснее, чем из рассмотрения исходного
куба), что векторы ах, а2, а3, т. е. диагонали куба, представляют собой
оси симметрии третьего порядка. В самом деле, эти векторы проходят через
шестиугольные грани ячейки.
20
Гл. 1. Периодические структуры
Фиг. 5. Образование объемноцентрированной решетки из ячеек Вигнера -
Зейтца.
В качестве хорошего упражнения читателю предлагается представить себе,
как упаковать такие многогранники в первоначальную решетку (фиг. 5).
§ 2. Периодические функции
Чтобы определить физическую модель кристаллической структуры, надо задать
значения некоторой функции пространствен-
ных координат / (г) (это может быть локальная концентрация электронов,
электростатический потенциал и т. д.). Эту функцию надо связать с
расположением атомов (фиг. 6). Условие трансля-
§ 2. Периодические функции
21
ционной симметрии состоит в том, что она должна быть периодической
функцией трех переменных
/ (г + ?) = / (г). (1.5)
Равенство (1.5) должно выполняться во всех точках простран-
ства, г, и для всех векторов трансляции.
Нам хорошо знакомы периодические функции для одного измерения. Так,
для функции, изображенной на фиг. 7г мы имеем
f(x + l)=f (x)t (1.6)
где I имеет вид 1га, причем а - период функции, a - целое число.
Фиг. 7.
