Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Займан Дж. -> "Принципы теории твердого тела" -> 13

Принципы теории твердого тела - Займан Дж.

Займан Дж. Принципы теории твердого тела — М.: Мир, 1966. — 478 c.
Скачать (прямая ссылка): principiteoriitverdogotela1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 174 >> Следующая

спинов, локализованных в атомах кристалла.
Названные возбуждения описываются уравнениями механики^ или уравнением
Шредингера, или же спиновым обменным гамильтонианом; во всех случаях мы
имеем уравнение, инвариантное относительно трансляций решетки. Пусть,
например, ТГ (г) есть потенциальная энергия электрона в точке г. Тогда Т
(г + 1) = Т (г) для всех I. Волновая функция электрона i|) (г) должна
удовлетворять уравнению Шредингера
(-1ё^2+г(г)-ф=0' (i-37)
которое остается неизменным при замене г на г + I во всех операторах,
действующих на функцию г)з.
В случае колебаний решетки или спиновых волн формальное рассмотрение
несколько усложняется, но принцип остается тем же самым. Пусть
(Uy, и%, . . ., ип, . . .)
суть смещения атомов в узлах 1, 2, . . ., п, ... (или смещения спинов,
или операторы спиновых отклонений и т. п.). Уравнения движения (или
гамильтониан) зависят от этих переменных (или операторов) таким образом,
что трансляция на вектор решетки I, т. е. замена во всех формулах величин
ип на и"+{, ничего не меняет. Иными словами, все ячейки решетки
эквивалентны и неразличимы. Это напоминает "космологический принцип",
который гласит, что Вселенная выглядит в основном одинаково независимо от
того, из какой точки мы рассматриваем ее.
Чтобы выразить это свойство математически, обозначим через <Ш (0) и | 0
>, 38 (I) и 11 ) соответственно гамильтониан и волновую функцию до и
после трансляции I. Например, в случае электронов мы имеем | 0) === ij;
(г) и | I) = гр (г + I). В случае колебаний решетки, если символ | 0>
обозначает состояние, в котором атом п совершает какое-нибудь
определенное движение, то состояние, в котором то же самое движение
совершает атом (n + 1), будет обозначаться символом | I).
§ 4. Теорема Блоха
31
Свойство трансляционной инвариантности можно сформулировать так:
т (г) = т (о). (1.38)
Задача на собственные значения имеет вид х)
т (0) | о> = ш | о>. (1.39)
Тождественное с этим уравнение
т (г) | г) = % | г) (1.40)
[олучается из (1.39) просто путем переобозначения всех переменных в
операторах и в искомых функциях. Но, согласно (1.38), отсюда следует
т (о) | D = %\ D, (1.41)
т. е. функция I I ) также есть решение уравнения, которому удовлетворяет
функция | 0). Поскольку функции | I ) и | 0) не обязательно одинаковы, то
могло бы показаться, что путем простых трансляций любого решения, которое
нам удалось найти, мы можем получить великое множество решений уравнений
движения. Все эти решения, разумеется, вырождены по энергии.
Очевидно, однако, что это абсурдно; новые решения должны быть в каком-то
смысле эквивалентны исходному. Следует рассмотреть два случая.
1. Допустим, что решение | 0) не вырождено (чего на самом деле не
бывает, так как, кроме трансляционной инвариантности, все решетки
обладают еще и симметрией по отношению к отражениям). Тогда единственная
возможность заключается в том, что новая функция 11 ) отличается лишь
множителем от исходной | 0 >, и, следовательно, с физической точки зрения
эти состояния одинаковы. Иными словами, должно существовать такое число
А.х, что в результате одного шага в направлении вектора ах мы получаем
|а1> = Я1|0>. (1.42)
Из условия нормировки следует, что
IMa=l, (1.43)
так что
Xi = eift', (1.44)
•) Если колебания решетки описываются с помощью классических уравнений
движения, то роль энергии играет частота со, а роль "гамильтониана"-
матрица системы связанных линейных дифференциальных уравнений, выведенных
в предположении, что отклонения от положений равновесия малы. См. § 2
настоящей главы.
32
Гл. 1. Периодические структуры
где кг - действительное число. Аналогично для единичных трансляций в
направлении других базисных векторов мы имеем
| а2) = eik* 10), | а3) = 10). (1.45)
В случае трансляции общего вида приходим к соотношению | I) = | Ziai -j-
Z2a2 -f- Z3a3) = elftl | (Zi - 1) ai +1%&2 ~Ь ^383) -
= | о _|_ i2a2 -f Z3a3) = eWiii+Mi+ftsW j 0).
(1.46)
Действительно, было сделано Z2 шагов в направлении alt 12 шагов в
направлении а2 и т. д., и после каждого шага функция умножалась на
соответствующий коэффициент.
Определим вектор к равенством
к = + к2Ъ2 + к3Ъ3, (1.47)
где Ьх, Ь2, Ь3 - тройка векторов обратной решетки, соответствующая
векторам aj, а2, а3, согласно соотношениям (1.19). Тогда соотношение
(1.46) принимает вид
|Z) = e*-*|0>. (1.48)
Это и есть результат, который мы стремились доказать.
Для любой волновой функции, удовлетворяющей уравнению Шредингера (или его
классическому или квантовому эквиваленту), существует такой вектор к, что
трансляция на вектор решетки I эквивалентна умножению этой функции на
фазовый множитель exp (ik-Z).
Различным волновым функциям могут отвечать и различные векторы к, но
любая из них должна удовлетворять этому условию. Это - сильное условие,
налагаемое на форму элементарных возбуждений тем весьма существенным
фактом, что решетка транс-ляционно инвариантна.
Надо, однако, доказать справедливость высказанного утверждения в более
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 174 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed