Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
отвечает "истинный" волновой вектор к.
§ 6. Граничные условия. Подсчет состояний
Во всем изложенном была существенна полная трансляционная симметрия, в
связи с чем решетка считалась безграничной. Рассмотрение такой решетки
затруднительно в математическом отношении, ввиду того что приходится
иметь дело с бесконечным числом атомов и собственных функций. Мы можем
изучать такие системы, лишь полагая число атомов конечным и затем
переходя к пределу, когда это число устремляется к бесконечности. При
этом нужно было бы ввести границы как некоторые реальные поверхности, на
которых, например, волновая функция должна обращаться в нуль. Но этот
путь также неудобен, ибо в результате отражений от всех границ точные
стационарные состояния такой системы изображались бы стоячими волнами.
Использование таких функций для описания электронов проводимости, которые
на очень малых расстояниях обычно некогерентно рассеиваются атомами
примеси или тепловыми колебаниями решетки, с математической точки зрения
громоздко, а с физической неправильно.
Существует математический прием, который позволяет удовлетворительно
решить проблему подсчета состояний и при этом не вводить каких-либо
физических эффектов, связанных с границами. Этот прием состоит в
применении циклических граничных условий или условий Борна - Кармана.
§ 6. Граничные условия. Подсчет состояний
39
В одномерном случае мы предположим, что "кристалл" состоит из L ячеек,
которые соединены так, что образуют замкнутый круг. При этом электронная
волновая функция должна удовлетворять условию
ip (х + La) = г|з (х), (1-71)
которое обеспечивает непрерывность ее в точке соединения. Но условие
теоремы Блоха в случае одного измерения гласит:
•tyh(x + La)~eihLatyh(x), (1-72)
так что должно быть
(1.73)
k = ^t (1.74)
где тп - целое число.
В одномерной приведенной зоне мы имеем -я/а < к < я 1а, и поэтому целые
числа из интервала
-±L<m<^~L (1.75)
дадут все существенно различные значения приведенного волнового числа.
Всего имеется L таких значений (надо рассмотреть два различных случая,
когда L четно или нечетно - в сущности это вполне тривиальный вопрос).
Они отстоят друг от друга на расстоянии (1IL) (2я 1а). Поскольку величина
L предполагается очень большой, эти значения распределены в обратном
пространстве практически непрерывно и с постоянной плотностью.
Высказанные соображения можно распространить и на трехмерный случай, если
принять, что наша макроскопическая система циклична в трех измерениях.
Пусть она представляет собой кристалл с размерами по трем базисным
направлениям решетки Li&i, Ь2а2 и L3а3. Тогда в соответствии с условием
(1.71) напишем
гр (г + L&i) = г|) (г), г|з (г + L2a2) = г|з (г), гр (г + L3a3) = гр (г).
Для функции Блоха с волновым вектором к эти условия приведут к равенствам
gik-(biai) _ егк-(Ь2а2) - е1к-(Ьзаз) - \f (1-77)
которые могут выполняться, лишь если вектор к имеет вид
к = Ajbi + к2Ь2 + к3Ъ3 = bi + b2 + Ьз> (1.78)
где тп2, тп3 - целые числа, а Ьх, Ь2, Ь3 - как обычно - векторы обратной
решетки, определяемые формулами (1.19).
40
Гл. 1. Периодические структуры
Этот результат следует сравнить с определением вектора обратной решетки
g = + п2- 2яЬ2 + 7г3-2яЬ3, (1-79)
где щ, пг, п3 - целые числа. Допустимые значения вектора к [формула
(1.78)] получаются делением образующих элементарной ячейки обратной
решетки на равных частей для направления Ь1; на Ьг частей для направления
Ь2 и на L3 частей для направления Ь3. Таким образом, в обратном
пространстве равномерно распределены ряды точек, что и показано на фиг.
15.
2
Фиг. 15. Зона Бриллюэна покрывает ту же площадь, что и элементарная
ячейка обратной решетки, и содержит ровно N "разрешенных" к-векторов.
Чтобы вычислить плотность этих точек, заметим, что они могут покрыть всю
элементарную ячейку обратной решетки, если целые числа тг, т2, т3
пробегают значения
0 т1 <; Lu 0 < Ь2, 0 < т3 < Ьэ. (1.80)
Но при этом получается не та ячейка, которую было бы естественно принять
в качестве основной зоны для k-векторов. Вероятно, лучше было бы по
аналогии (1.75) рассмотреть область
1 11 1 -2~ Li <С. mi <С.~2 Li, --- L2<C. т2<С. ~2~L2,
1 т 1 т
----2 <С m3 <С - ь3.
Таким путем мы получили бы элементарную ячейку в виде параллелепипеда с
центром в начале координат. Однако удобнее всего выбрать элементарную
ячейку в виде ячейки Вигнера -
(1.81)
§ 6. Граничные условия. Подсчет состояний
41
Зейтца; таким образом, мы возвращаемся к нашему старому другу - к зоне
Бриллюэна.
Но объем зоны Бриллюэна совпадает с объемом элементарной ячейки, имеющей
вид параллелепипеда, и потому в ней должно содержаться в точности то же
число "разрешенных значений" вектора к. Согласно неравенствам (1.80) или
(1.81), это число, очевидно, равно Lx X X L3 = N, что в точности
совпадает с числом элементарных ячеек во всем макроскопическом кристалле.
Это весьма важная теорема: зона Бриллюэна содержит ровно столько
разрешенных волновых векторов, сколько элементарных ячеек содержит блок
