Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
называется оптическим. Нетрудно проверить, что при q - О подрешетки
легких и тяжелых атомов движутся без деформаций в противоположных
направлениях. Иначе говоря, двухатомная молекула в каждой ячейке
колеблется так, как если бы она была независима от своих соседей. Если,
как это бывает в случае ионных кристаллов, атомы разного типа имеют
электрический заряд противоположного знака, то возникает оптически
активный осциллирующий дипольный момент.
Интересно изучить переход от одноатомной цепочки (см. фиг. 16) к
двухатомной (см. фиг. 18). Начнем с первого случая. Пусть мы выбрали
элементарную ячейку так, что она содержит
Фиг. 18. Частоты колебаний двухатомной цепочки.
§ 2. Свойства колебаний решетки
51
два атома, и пренебрегли тем фактом, что массы их тождественны. Тогда
легко показать, что оптическая и акустическая ветви соединяются в точке q
= я/2 а, что изображено на фиг. 19, а. При сравнении с фиг. 16 может
показаться, что число типов колебаний удвоилось. Однако, удваивая длину
элементарной ячейки, мы, очевидно, уменьшили вдвое размеры зоны
Бриллюэна. С помощью трансляции на расстояние я/а (т. е. на вектор
обратной решетки сдвоенной ячейки) мы можем развернуть фиг. 19, а и
получить из нее фиг. 19, б. "Акустическая" и "оптическая" ветви при этом
непрерывно переходят друг в друга. Таким образом, размеры приведенной
зоны на фиг. 19, а безосйовательно уменьшены вдвое по сравнению с тем,
что должно быть на самом деле.
а 6 в
Фиг. 19. Частоты колебаний. а - одноатомной линейной цепочки,
рассматриваемой как двухатомная; б - одноатон" ной линейной цепочки
(показаны границы зоны); в - двухатомной линейной цепочни,
рассматриваемой как одноатомная.
То же самое можно выразить и иначе. Поочередное изменение масс атомов в
цепочке приводит к появлению в точках ± я/2 а новых границ зоны. При
переходе через эти границы частота более не меняется непрерывно;
возникает щель. Это можно было бы проиллюстрировать с помощью фиг. 19, в
- другой способ описания двухатомной цепочки. В гл. 3 мы будем часто
сталкиваться с этим явлением.
Следующий случай, который мы рассмотрим, - это двух- или трехмерная
решетка Бравэ при учете взаимодействия с ближайшими соседями. При этом,
однако, уравнения становятся слишком громоздкими и получить общее решение
трудно. Каждое измерение увеличивает на единицу число декартовых
компонент вектора смещения. Поэтому в трехмерном случае приходится решать
кубическое уравнение для v2.
Физический смысл этих трех корней можно выяснить, исследуя предельный
случай длинных волн. При этом рассматривается по существу упругий
континуум, внутренняя структура которого столь мелкомасштабна, что она не
оказывает заметного влияния на свойства длинноволновых колебаний. Хорошо
известно, что
52
Гл. 2. Колебания решетки
в таком континууме могут распространяться три различных типа акустических
волн, обладающих различными скоростями.
Основное различие между этими тремя акустическими колебаниями состоит в
типе их поляризации. Например, в случае изотропной среды одно из
колебаний (волн) поляризовано про-
а 6
Фиг. 20. Поверхности постоянной частоты, о - для изотропной среды; б -
для реального кристалла.
долъно - вектор смещения каждого атома параллелен направлению
распространения волны. Два других колебания распространяются с одинаковой
скоростью и поляризованы поперечно - атомы движутся в плоскости,
перпендикулярной волновому вектору. Продольная волна,вообще говоря, имеет
большую скорость,чем поперечные; соответственно поверхности постоянной
частоты в q-пространстве имеют вид, подобный изображенному на фиг. 20, а.
Макроскопические упругие свойства кристаллических твердых тел обычно
оказываются анизотропными, и потому описанная выше простая картина
_ " данного типа зависит от направ-
Дисперсия хлебаний ре- л Поэтому (см. фиг. 20,6)
шетки в данном направлении. Y J 4 v '
форма поверхностей постоянной частоты для поперечпой ¦ветви может быть
очень далека от сферической. Поперечные колебания, если исключить
некоторые специальные симметричные направления распространения,
становятся невырожденными, так что соответствующие им поверхности
постоянной частоты могут пересекаться сложным образом. Формальное
§ 2. Свойства колебаний решетки
53
разложение колебаний на поперечные и продольные оказывается при этом
несколько условным, поскольку фактически в такой среде вектор поляризации
[определяющий направление вектора Uq; см. (2.11) и (2.13)] не направлен
строго параллельно или строго перпендикулярно вектору q.
Таковы свойства длинноволновых колебаний решетки. Если направление
вектора q задано, то между частотой v и волновым числом q должна
существовать функциональная зависимость, схематически изображенная на
фиг. 21; эта зависимость линейна в окрестности точки q = 0, причем наклон
прямой линии равен
Фиг. 22. Одна из ветвей функции vq в схеме повторяющихся зон.
соответствующей макроскопической скорости звука. При увеличении q,
