Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
предполагаем, что величина Us, q содержит временной множитель exp (ivt).
Тогда дело сводится к решению системы Зге уравнений
S G{|:(q)-vWAs4'}^:,q=0 (2.13)
s', j*
для компонент вектора Us,q. Это есть задача на собственные значения; Зге
решений ее получаются, если приравнять нулю детерминант матрицы, стоящей
в фигурных скобках в левой части (2.13), и найти корни возникающего таким
образом уравнения для V2. В самом деле, все, что мы делаем, сводится к
нахождению Зге нормальных колебаний ге атомов в элементарной ячейке в
предположении, что их взаимодействие описывается силовым тензором GSS'
(ч)- Этот тензор отличается от исходного тензора межатомных сил Gss' (h)
и зависит от вектора q. Для данных значений индексов s и s' в формуле для
тензора Gss' (ч) суммируется взаимодействие всех атомов "типа s" - атомов
в узлах s каждой элементарной ячейки - со всеми атомами в узлах s',
причем принимаются во внимание фазовые соотношения.
§ 2. Свойства колебаний решетки
Чтобы понять свойства колебаний решетки, полезно изучить несколько
простых случаев. Простейший из них - это случай линейной цепочки. Пусть
мы имеем одномерную "решетку", в которой на каждую элементарную ячейку
приходится один атом и взаимодействуют лишь ближайшие соседи. Уравнения
движения легко выписать явно. Потенциальная энергия [ср. (2.2)] в данном
случае имеет вид
2 т " (Ui~~ Ui+a)2' (2-14)
i
где а - силовая постоянная. Уравнения движения [ср. (2.5)] будут Мщ = - а
(2ul - U!+a - U;_a). (2.15)
Подстановкой
иг = Uqeiql (2.16)
они преобразуются в аналог уравнений (2.11):
MUq =-(2a - aeiqa - ае xqa)Uq- - 2a(l-cosqa)Uq. (2.17)
48
Гл. 2. Колебания решетки
Здесь а обозначает расстояние между атомами в цепочке (фиг. 16). Мы
получили уравнение простого гармонического осциллятора с частотой
''•=/?2s4!)- <2-18)
Этот хорошо известный результат иллюстрирует многие особенности теории.
а
<7
5
Фиг. 16. Частоты колебаний линейной цепочки.
1. Все возможные колебания можно получить, перебирая числа q из
интервала
-Т<9<Т* <2Л9)
Этот интервал совпадает с зоной Бриллюэна для нашего случая. Все значения
q, лежащие вне указанного интервала, приводят просто к повторению уже
известных движений:
Ui = Uei (9+g) i == Ueiql.
(2.20)
§ 2. Свойства колебаний решетки
49
Рассмотрение волновых векторов вне зоны Бриллюэна было бы здесь
совершенно неестественным (хотя и не бессмысленным!). Если бы мы
пользовались значениями | q |, превосходящими п/а, мы получали бы
правильные результаты. Частота vg, согласно формуле (2.18), есть
периодическая функция q. Поэтому всем значениям числа q, которые
приводятся к одной и той же точке в зоне Бриллюэна, отвечает одинаковая
частота.
Всего имеется точно N различных решений, соответствующих N разрешенным
значениям числа q в зоне Бриллюэна. Это согласуется с числом степеней
свободы исходной решетки (равным N).
2. Для малых значений q (т. е. при qa 1)
v*~jS-Maq- (2-21)
Пропорциональность частоты волновому числу аналогична хорошо известному
свойству обычных упругих волн в сплошной среде. Если длина волны
возмущения гораздо больше постоянной решетки, то цепочка атомов ведет
себя подобно "тяжелой упругой струне" в классической механике.
Ячейка 1 Ячейка 2 Ячейка 3
Фиг. 17. Двухатомная линейная цепочка.
При больших значениях q, однако, скорость волны не остается постоянной.
При q = п/а, т. е. когда длина волны равна 2а, функция vq имеет
горизонтальную касательную. В этом отклонении от линейной зависимости
проявляется свойство, называемое дисперсией.
Рассмотрим теперь более сложный случай: линейную цепочку атомов,
расположенных на одном и том же расстоянии друг от друга, с такими же
силовыми постоянными, как и прежде, но с двумя различными чередующимися
массами М1 и М2 (фиг. 17). Теперь каждая элементарная ячейка содержит два
атома. Уравнения, аналогичные системе (2.11), имеют несколько более
сложный вид, чем в случае (2.17):
MiUi - - 2aUi-\- 2а cos qa-U2, M2U2 = -2а112-{-2a cos qa-Ui.
(2.22)
50
Гл. 2. Колебания решетки
Чтобы найти частоту v, надо решить детерминантное уравнение 2а - М iv2 -
2а cos qa
- 2а со s да 2a-M2v2
которое имеет два корня
= 0,
(2.23)
v±-a ( Mi + м2) ±а]/Г {mi + М2)
2 4 sin2 да
(2.24)
MiM2
Если графически представить зависимость этих двух корней от q, то
получатся кривые, изображенные на фиг. 18.
Как и в случае одноатомной цепочки, имеется корень v_, который вблизи
точки q = 0 становится пропорциональным q. Соответствующее колебание
называется акустическим, так как оно аналогично длинноволновому колебанию
цепочки, рассматриваемой как упругий континуум. В качестве упражнения
читателю представляется возможность показать, что таким путем получается
обычное выражение скорости звука в рассматриваемой среде.
Есть, однако, еще одна ветвь v+. Вблизи q - 0 соответствующая частота
есть
(2-25>
Эта ветвь значительно удалена от акустической, однако при увеличении q
частоты обеих ветвей стремятся сблизиться. Соответствующее колебание
