Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Займан Дж. -> "Принципы теории твердого тела" -> 18

Принципы теории твердого тела - Займан Дж.

Займан Дж. Принципы теории твердого тела — М.: Мир, 1966. — 478 c.
Скачать (прямая ссылка): principiteoriitverdogotela1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 174 >> Следующая

этих атомов из узлов равновесной решетки. Допустим далее, что эта функция
достигает минимума, когда все векторы обращаются в нуль. Действительно,
можно ожидать, что расположение атомов в идеальной решетке отвечает
устойчивому равновесию. Воспользуемся стандартной теорией малых колебаний
и разложим функцию f' вблизи положений равновесия в степенной ряд по
декартовым компонентам u\i вектора и3г:
Постоянное слагаемое для наших целей интереса не представляет, а
коэффициенты в линейном члене разложения должны быть равны нулю (мы
находимся вблизи равновесия). Таким образом, первый существенный член
квадратичен по смещениям - это так называемый гармонический член.
Зная функции (2.1) и (2.2) и пользуясь обычным лагранжевым формализмом
классической механики, получаем уравнения движения
справедливые для всех узлов s в элементарной ячейке, для всех
элементарных ячеек I в решетке и для каждой декартовой компоненты (j = х,
у, z) вектора смещения.
Соотношение (2.3) представляет собой, разумеется, систему огромного числа
связанных дифференциальных уравнений. Рас-
(2.1)
St
stj sI ss\ IV
ss', 11', jj'
(2.2)
(2.3)
§ 1. Динамика решетки
45
смотрим, однако, коэффициенты в правой части равенства. Положим
Формально это компоненты тензора в декартовых осях; соответственно
уравнение (2.3) можно записать в несколько более простой векторной, форме
MSUS1 = -2 GsJ; s't"Us'l'. (2-5)
s'l'
Это уравнение можно интерпретировать следующим образом: каждое слагаемое
в сумме в правой части равенства представляет собой силу, действующую на
s-й атом в l-й ячейке, вызванную смещением iVi' атома из узла s' ячейки
V. Можно было , бы сразу написать это уравнение, коль скоро известны
межатомные силы
и, кроме того, известно, что в потенциальную энергию решетки дают
вклад силы взаимодействия между парами атомов.
Однако независимо от физической интерпретации сил одно их свойство,
безусловно, должно иметь место: силы не должны зависеть от абсолютного
положения ячеек I и V в решетке. Тензор G может зависеть только от
относительного расположения ячеек
Gsf; s'l' = GS4' (h), (2.6)
где
h = v - г.
Тогда уравнения (2.5) принимают вид
Msu,i =-SG". (h)-ul>l+h. (2.7)
8'It
Эти уравнения записаны в форме, инвариантной относительно трансляций, что
необходимо для справедливости теоремы Блоха. Действительно, замена,
например, индекса I на I" приводит просто к повторению того же набора
уравнений. Предположим теперь, что мы нашли решение - набор функций,
описывающих зависимость векторов ust от времени для любого значения
индекса I. Эти функции должны удовлетворять условию Блоха (1.48) или
(1.57). Существует волновой вектор q *), такой, что
йЛ(*) = в*ч-*и,.о(*), (2.8)
!) Мы применяем этот символ для обозначения волнового вектора волн в
решетке и символ к для электронных волн. Оба эти вектора, разумеется,
определены в одном и том же обратном пространстве.
46
Гл. 2. Колебания решетки
где us, о (t) есть смещение в той ячейке, в которой было выбрано начало
координат для векторов решетки I. Заметим, что во всех ячейках атомы в
узлах s движутся в одном и том же направлении и с той же амплитудой;
только фазы колебаний меняются от ячейки к ячейке.
Для каждого решения динамических уравнений существует такой вектор q, для
которого условие (2.8) выполняется. Чтобы установить, какой именно
волновой вектор соответствует данному решению, надо вернуться к
уравнениям (2.7). Подставляя в них функции (2.8), получаем
Msus,0ei4-|!- -S Gss< (h).ivtoe<4'V<i-?, (2.9)
s'h
На множитель exp (iq-l) можно сократить. Чтобы отразить произвол в выборе
начала координат, а также то обстоятельство, что мы рассматриваем решение
с определенным значением вектора q, напишем
us, о = Us, ч- (2-Ю)
Тогда имеем
M.U., , = - Е 12 В"' (Ь) ei4'h] *lv, " =
s' h
= -2G"'(q)-U,.,q, (2.11)
s'
где
GiS'(q) = 2GS!'(h)^-h (2.12)
b
есть фурье-образ силового тензора G.
Новые уравнения (2.11) относительно легко решить. Все дело в том, что
число их ограниченно. Пусть на каждую элементарную ячейку приходится п
атомов, и пусть всего в решетке имеется N ячеек. Тогда первоначальная
система (2.3) или (2.5) содержит 3nN уравнений (считаем отдельно
уравнения для каждой из трех декартовых компонент векторов). В новую
систему (2.11) входят только 3п уравнений - трехкомпонентное уравнение
для каждого из п значений индекса s.
Мы имеем здесь очень яркий пример роли трансляционной инвариантности.
Тождественность структуры всех элементарных ячеек приводит к тому, что
для расчета движения всей системы надо иметь информацию лишь об одной из
ячеек. Правда, желая найти решения для различных значений вектора q (а
граничные условия "разрешают" точно N таких значений), мы должны каждый
раз производить особый расчет. Практически, однако, бывает интересен
только ограниченный набор таких решений, а остальные можно получить путем
интерполяции.
§ 2. Свойства колебаний решетки
47
Дальнейший расчет элементарен. Как и в обычной теории колебаний, мы
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 174 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed