Калибровочные теории связи с конструктивной квантовой теорией поля и статистической механикой - Зайлер Э.
Скачать (прямая ссылка):
(LO) (с) = XR (Ф, Ф) (с), Я = Ngl = const, (12)
где операторы R и L действуют в пространстве петель. Явные выражения для
этих операторов и обсуждение свойств уравнения (12) можно найти в обзоре
[8]. В этом обзоре приведены также различные результаты, полученные с
помощью петлевых уравнений.
В частности, с помощью решёточного варианта петлевых уравнений была
доказана так называемая редукция Эгучи - Каваи [9]. Эта редукция состоит
в утверждении о независимости предельного поля Ф(с) от полного размера L
решётки. Поэтому вместо бесконечной решётки можно взять единичную
решётку, содержащую всего один узел.
Более подробное исследование выяснило, что необходимо вместо условий
периодичности налагать "перекрученные" граничные условия [10], для того
чтобы избежать фиктивных фазовых переходов в пределе N = оо. С этой
оговоркой редукция Эгучи - Каваи была подтверждена как аналитическими,
так и численными расчетами.
Помимо предела N = оо петлевые уравнения дают в принципе возможность для
построения ряда по степеням 1 /N. Эта возможность связана с тем, что N~x
входит как коэффициент в эти уравнения. Напомним, что петлевые уравнения
пишутся для инвариантов, так что N больше никуда не входит. Поэтому
аналитическое продолжение на нецелые N достигается непосредственно.
Надо признать, что петлевая динамика в непрерывном пространстве с
математической точки зрения плохо обоснована, и хочется обратить внимание
математиков на эту интересную проблему.
Что касается решения петлевых уравнений, то пока достигнуты следующие
успехи [8].
С помощью итераций но константе связи Я была воспроизведена обычная
диаграммная техника Фаддеева - Попова. Кроме того, было показано, что
закон площадей Вильсона (2) является асимптотическим решением петлевого
уравнения (12). Ввиду нелинейности уравнения это ещё не означает, что
решение единственно, поэтому отсюда не еле-
Задачи и перспективы калибровочных теорий
209
дует, что обязательно имеется удержание кварков в теории с N = оо.
Были также предприняты попытки представить точное решение петлевого
уравнения в виде суммы по случайным поверхностям с фермионной структурой
(теория фермионной струны). Однако теория случайных поверхностей ещё
недостаточно разработана, чтобы можно было придать возникающей
статистической сумме однозначный математический смысл. Это ещё одна
важная проблема, решение которой требует усилий именно математиков.
Наконец, упомянем о соотношении между решёточной теорией в фазе сильной
связи и теорией решёточных поверхностей. Такое соотношение исследовалось
в ряде работ. Можно сопоставить членам разложения сильной связи сумму по
решёточным поверхностям данной площади с определёнными весовыми
факторами, зависящими от внутренней геометрии поверхности (но не от
способа вложения).
Однако фазовые переходы при конечных р препятствуют экстраполяции на р =
оо и не позволяют сделать вывод об эквивалентности калибровочной теории и
теории случайных поверхностей в непрерывном пределе.
Поэтому проблема установления связи между К.ХД и теорией струны остаётся
открытой. Здесь можно ожидать интересных результатов.
ЛИТЕРАТУРА
Ниже используются следующие нестандартные сокращения:
CMP = Communications in Mathematical Physics.
JMP = Journal of Mathematical Physics.
Brandeis 1965 = Axiomatic Field Theory, M. Chretien, S. Deser, eds.,
Gordon and Breach, New York, 1966 (Brandeis lectures 1965).
Battelle 1971 = Statistical Mechanics and Mathematical Problems, Battelle
Seattle 1971 Rencontres, A. Lenard, ed., Lecture Notes in Physics 20,
Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1973.
Erice 1973 = Constructive Quantum Field Theory, G. Velo and A. S. Wight-
man, eds. (Proceedings of the 1973 Erice Summer School), Lecture Notes in
Physics 25, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York,
1973.
Erice 1975 - Renormalization Theory, G. Velo and A. S. Wightman, eds.,
D. Reidel, Dordrecht, 1976 (Proceedings of the 1975 Erice School on
Mathematical Physics).
Cargese 1976 = New Developments in Quantum Field Theory and Statistical
Mechanics, M. Levy and P. K. Mitter, eds., Plenum Press, New York and
London, 1977 (Proceedings of the 1976 Cargese Summer School).
Rome 1977 = Mathematical Problems in Theoretical Physics (Proceedings of
the Rome M f] Ф conference 1977), G. dell'Antonio, S. Doplicher, G. Jona-
Lasinio, eds., Lecture Notes in Physics 80, Springer-Verlag, Berlin,
Heidelberg, New York, 1978.
Schladming 1978 = Facts and Prospects of Gauge Theories (Proceedings of
the 1978 Schladming Winter School), H. Mitter, ed., Acta Physica
Austriaca, Suppl. XIX.
Esztergom 1979 = Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai, 27,
Random Fields (Esztergom, Hungary 1979), North-Holland, Amsterdam, 1981.
Kaiserslautern 1979 - Field Theoretical Methods in Particle Physics, W.
Riihl, ed. (Proceedings of the 1979 Kaiserslautern Summer School),
Plenum, New York 1980.
Lausanne 1979 = Mathematical Problems in Theoretical Physics (Proceedings
