Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
Aw = —|к|. (11.4.26)
п
Действие фильтра, основанного на брэгговском отражении волно-водной моды в гофрированном волноводе, демонстрировалось экспериментально. Результаты измерений характеристик этого фильтра показаны на рис. 11.8.
11.5. ВСТРЕЧНАЯ СВЯЗЬ В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ
В предыдущем разделе мы предполагали, что период Л выбирается таким образом, что ?s « Iiт/А для некоторой моды ?s и целого числа /. При этом условии мода ?s оказывается сильно связанной с модой, распространяющейся в обратном направлении. Обычно период представляет собой величину порядка IkJ2, где X0 - Іж/?, — длина
O ь Л
волны 5-й моды в волноводе. Для эффективной связи целое число / выбирают по возможности минимальным, поскольку, согласно выражению (11.4.11), постоянная связи к пропорциональна 1/1. Однако получение минимального периода Л ограничено возможностями технологии изготовления. Например, период, необходимый для брэгговского отражения излучения с длиной волны 1 мкм в волноводе из GaAs (п ~ 3,3) (см. рис. 11.4), равен / х 1500 A. Из технологических соображений можно выбрать 1=3.
Если период гофра на поверхности многомодового волновода достаточно большой, так что для некоторой пары мод и ?2 и целого числа і мы имеем ?x - ?2 = 1(2ж/А), то эти моды оказываются сильно связанными при постоянной связи, не равной нулю. Пусть A1(z) и A2(z) — амплитуды связанных мод. В соответствии с (11.3.5) или (6.4.27) для них можно написать следующую систему і 472
Глава 5
уравнении: ?
dz где
Ax--Ux2AftW', -^A2=-IkI2A
-i\?z
и Г00
к!2 = 7 / &*x(x)'i,(x)&2(x)dx,
4 •'-оо
2чт'
A? = ? x-?2-l
Л
(11.5.1)
(11.5.2)
(11.5.3)
Здесь E1 (х) — 1-я фурье-компонента возмущения диэлектрической проницаемости (11.4.5), определяемого выражениями (11.4.3) и (11.4.6) в случае, когда гофрированная поверхность имеет вид прямоугольных импульсов. Заметим, что полная мощность, переносимая обеими модами, сохраняется, поскольку
dz
иі2 + |л2і2} = °.
(11.5.4)
Пусть Ax(O) и A2(O) — амплитуды мод в плоскости z - 0. Тогда решение системы уравнений (11.5.1) можно записать в виде
Ax(Z) = [cosSZ- Si
Sin SZ
-4.(0) -
-і
42
sin А
!(0)} ,
(11.5.5)
A2(z) = e-'^W sin sz /4,(0) +
+
^ -
cos SZ + і — sin SZ 2s
,(0)} ,
где
S2 = K2I2 + (\A?)\
(11.5.6)
Из (11.5.5) следует, что доля мощности, которая из моды 2 переходит в моду 1 (или наоборот) на расстоянии z, дается выражением
K2I2
Ik12I2 + ШЇ
Sin2SZ,
(11.5.7) Направляемые волны и интегральная оптика
473
т. е. представляет собой периодическую функцию координаты z. Мы видим, что при достаточно большой длине взаимодействия происходит обмен энергией между модами в прямом и обратном направлениях. Максимальная доля мощности, которая может перейти из одной моды в другую, равна 1к,212/[1к]212 + (A?/2)2] и в случае ІД/ЗІ > Ik12I эта доля мала. Полный обмен энергией происходит лишь в случае ДЗ = 0, т. е. когда имеет место синхронизация фаз. Если это условие выполняется, мы можем написать следующие выражения:
A1(Z) = /l,(0)cos кг - і /l2(0)sin кг,
(11.5.8)
A2(z) = /l2(0)cos кг - /-^-/I1(O)Sin кг, где
К = |к,2|. (11.5.9)
Обмен энергиями при встречной модовой связи происходит так же, как в случае связанных мод в фильтре Шольца. Поэтому встречную модовую связь можно описать теми же кривыми для \Ax(z)\2 и U2(Z)I2, которые были представлены на рис. 6.11 для фильтров Шольца.
Встречная модовая связь зависит также от частоты излучения. Пусть пх, п2— эффективные показатели преломления (т.е. ?a = = па (со/с), а = 1,2], отвечающие связанным модам, а со0 — частота, при которой ДЗ = 0. Тогда выражение для A? можно переписать в виде
д/?= ("і -"2)("-"о) (П.5.10)
с
Сильная связь имеет место лишь в частотной области, в которой ІД/ЗІ < 2к. В переводе на частотную ширину полосы получаем выражение
Aw = , 4кс ,, (11.5.11)
|л, - п2\
где к — постоянная связи, с — скорость света, а пх — п2 — разность эффективных показателей преломления. Сравнивая (11.5.11) с выражением (11.4.26) для брэгговского отражателя, находим, что 474
Глава 11
ширина полосы встречной связи много больше, так как Iw1 — W2I обычно меньше по сравнению с п.
11.6. ЛАЗЕРЫ С РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
В предыдущих разделах и в гл. 6 мы предполагали, что возмущение Лє(х, у, z) диэлектрической проницаемости является вещественной величиной, которая описывает пассивные неоднородности. Наличие в среде небольшого усиления можно также рассматривать как возмущение, и в этом случае Ae (х, у, z) следует считать комплексной величиной. Рассмотрим распространение электромагнитных волн в периодической среде с вещественной диэлектрической проницаемостью є(х, у, z) и комплексным периодическим возмущением Ae (х, у, z)- Ниже мы покажем, что генерация излучения может происходить и без наличия торцевых зеркал. При этом обратная связь осуществляется за счет непрерывного когерентного рассеяния от периодического возмущения. Общее рассмотрение, которое мы проведем ниже, применимо как к объемной периодической среде (например, слоистой среде), так и к периодическому волноводу.
