Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
tg ht = h(p + q)Z(h2 - рд), (11.2.11)
где
2
- — "г P=-P, q=—;q. nj п2
Постоянная нормировки С выбирается таким образом, чтобы поток мощности поля, определяемого выражениями (11.2.9) и (11.2.10), был равен 1 Вт на единицу ширины в направлении у:
1 г«> а ,00 %2(х)
± HyEZdx=J- ~^-dx=\,
2 J-ОС У 2Uj-OO е(х)
или, используя п2(х) = є(х)/є0,
ГІїМ^Л (11.2.12)
•/-00 п2(х) ?m '
Выполняя интегрирование с учетом выражений (11.2.10), находим
Cm = 2
we,
о
?m 'эфф
(11.2.13)
q2 + h2! t q2 + h2 1 p2 + h2 1 'ЭФФ q2 \ n\ + q2 + h2 n\q p1 + A2 n\p
TM-моды являются также ортогональными. В действительности все ТЕ- и TM-моды являются взаимно ортогональными. Общее условие ортонормированности записывается в виде (11.1.17).
Общие свойства решений для ТЕ- и TM-мод иллюстрируются рис. 11.4. Мода оказывается локализованной, когда значение ґ/Х становится выше некоторого порогового. При пороговом значении мы имеем р = 0 и ? = п3к0, причем мода простирается до х = = -оо. Согласно модовым условиям (11.2.5), (11.2.11) и (11.2.4), пороговые значения ґ/Х для ТЕ- и TM-мод даются соответственно і 454
Глава 5
t/X
РИС. 11.4. Дисперсионные кривые для локализованных мод пленки из GaAs на подложке из AlGaAs; я, = 1,0.
выражениями
LL
(
2irJn22 - п\
l\ =
, 1Z2
mir + arctg
К>™ IitJn22 - п\
п\- п
mir 4- arctg ~21 2 и2 п, \ п-> — п
2
1/21
3
(11.2.14)
где т — целое число (т = 0, 1, 2, 3, ...,), которое соответствует т-й локализованной ТЕ- (или TM-) моде. Заметим, что пороговое значение для ТМ));-моды всегда больше, чем для ТЕт-моды, поскольку п{ < п2. Если же значения t/\ ненамного больше порогового, то р 2: 0 и мода плохо локализована, при дальнейшем увеличении t/\ величина р также возрастает и мода больше локализуется в слое 2. Это находит отражение в изменении эффективного показателя преломления моды ?X/2-к, который при пороговом значении t/X равен пъ, а при больших t/\ приближается к п2¦ В симметричном волноводе («, = пъ) низшие моды TE0 и TM0 не имеют порога и локализуются при всех значениях t/\. В работе [1] рассматриваются вопросы селективного возбуждения мод волновода с помощью призменных устройств ввода и определение их постоянных распространения ?m. Направляемые волны и интегральная оптика
455
Общее число локализованных мод, которые могут распространяться в волноводе, зависит от величины t/\. Посмотрим теперь, что произойдет с ТЕ-модой в данном волноводе (т. е. при фиксированных значениях и,, и2, и3 и /), когда длина волны света постепенно уменьшается, при условии что среда остается прозрачной и показатели преломления nv п2 и п3 не меняются значительно. Поскольку к0 = 2тг/\, уменьшение длины волны приводит к увеличению к0. При больших длинах волн (низких частотах), таких, что
__/ 2 _ 2 \ 1Z2
О < і/й| - п\ k0t < arctg —J , (11.2.15)
\nj-njj
t/X меньше пороговой величины и локализованные моды в волноводе отсутствуют. При уменьшении длины волны, так что
arc
/„2-„2\Ш ----/„2 „2 \ш
tg U-^J < "iV < *+ arctg U- V '
3 '
(11.2.16)
существует одно решение, удовлетворяющее модовому условию (11.2.5). Поперечный параметр И моды TE0 удовлетворяет условию
0< hxt<m, (11,2.17)
поэтому мода TE0 не имеет узлов пересечения внутри волноводного слоя ( —/ < X < 0)^ При дальнейшем уменьшении длины волны, когда параметр \fn\ - n\kQt попадает в область
/п2-п2\/2 Гп--,, , fn2 -п2 Y2
'+ arctg ц^гі) < "2" < 2т + arctg Ц--і) -
(11.2.18)
модовое условие (11.2.5) имеет два решения. Одно из них соответствует величинам ht < ж, т. е. моде TE0 нулевого порядка. Для следующей моды выполняется условие
чт < h2t < 2тг, (11.2.19)
и, таким образом, она имеет один узел пересечения (т. е. точку, где E = 0) в волноводной области ( — t < х < 0). Это так называемая TE1-мода. Обе эти моды соответствуют одной и той же частоте и могут, следовательно, возбуждаться одновременно одним и тем же і 456
Глава 5
падающим полем. Заметим, однако, что мода TE0 имеет большую величину р (т. е. р0 > P1) и, следовательно, более сильно локализована в волноводном слое. Из выражений (11.2.4) вытекает, что ?0 > ?r Поэтому фазовая скорость V0 = w/?0 моды TE0 меньше, чем моды TEr Обобщая вышесказанное, мы заключаем, что т-я мода (ТЕ или TM) удовлетворяет следующему условию:
Отсюда следует, что т-я мода имеет т узлов пересечения в волноводном слое ( — t < X < 0). Общие свойства как TM-, так и ТЕ-мод совпадают, за исключением того, что величина р для TM-мод несколько меньше, что указывает на меньшую степень ее локализации. Таким образом, по сравнению с ТЕ-модой такого же порядка большая часть общей мощности TM-моды распространяется вне направляющей среды. Этот вопрос рассматривается в задаче 11.5.
11.2.3. ГЕОМЕТРООПТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Моды ТЕ и TM волноводного слоя, рассмотренные выше, могут быть получены также в рамках геометрической оптики. Это возможно вследствие того, что такой волновод состоит из участков однородной среды с планарной геометрией. Волновое распространение в каждой однородной области можно представить в виде суперпозиции двух плоских волн. Как было показано в разд. II.I, локализованные моды существуют только в области пък0 < ? < п2к0, где плоские волны испытывают полное внутреннее отражение как на нижней (II—III), так и на верхней (II—I) границе.
