Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
аш = 2(/?"%,2) /S* ' Ае(*' y)SmdXdy' l^m- 01-3.17) Направляемые волны и интегральная оптика
463
Величину атт нельзя получить из этой формулы. Она может быть выбрана из условия нормировки возмущенной модовой функции согласно (11.3.8) и имеет вид (см. задачу 11.7)
а = (11.3.18)
4 ?2 2 ?m
Используя выражение (11.3.15) для b?m, коэффициенты атт можно записать следующим образом:
-?/? m^(x,y)Smdx dy. (11.3.19)
Удобно использовать выражение для «коэффициентов связи» [аналогичное выражению (6.4.17)]:
IClm^ j fs;-Ae(Xty)Sm^dy. (11.3.20)
Тогда выражение для поправки первого порядка к модовой функции с учетом (11.3.17) и (11.3.11) принимает вид
I - ^gm. (11.3.21)
l*m Pm * Pl
Таким образом, поправку b?m к постоянной распространения (11.3.15) можно записать следующим образом:
Wm-Kmm- (11.3.22)
Результаты (11.3.21) и (11.3.15) будут использованы при вычислении коэффициентов затухания мод в волноводах с металлическим покрытием (см. разд. 11.10).
11.4. ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ВОЛНОВОД; БРЭГГОВСКОЕ ОТРАЖЕНИЕ
Рассмотрим периодический диэлектрический волновод, в котором периодичность создается за счет гофрирования одной из поверхностей раздела, как показано на рис. 11.6. Такие периодические волноводы используются в качестве оптических фильтров [8], а также в лазерах с распределенной обратной связью [9—11]. Ниже мы обсудим оба этих применения. і 464
Глава 5
Гофрированная поверхность описывается функцией Ae (х, у, z) = = є0Дл2 (ж, у, z). Поскольку Дл2 (х, у, z) является скалярной функцией, из (11.3.6) следует, что благодаря гофрированности поверхности моды ТЕ или TM взаимодействуют лишь между собой, а не ТЕ с TM. Согласно гл. 6, правую часть уравнения (11.3.5) можно рассматривать как источник, возбуждающий к-ю моду. Для того чтобы амплитуда моды Ak непрерывно увеличивалась, правая часть должна содержать член, который не изменяется существенно на расстоянии z > Л, так чтобы интегрирование в среднем не приводило к нулевому значению. Для этого необходимо, чтобы выполнялось следующее условие:
где ?m — постоянная распространения т-й моды, а / — целое число. Если условие (11.4.1) выполнено, то к-я и т-я моды оказываются резонансно связанными между собой через 1-ю фурье-компо-ненту периодического возмущения Ae (х, у, z).
Для конкретности предположим, что период Л возмущения Ап2(х, у, z) такой, что I(ж/А) ~ ?s для некоторого целого числа I. Условие фазового синхронизма (11.4.1) может быть выполнено посредством связи моды ?s с отраженной модой, имеющей постоянную распространения -?s, так как ?s — ( — ?s) = 2?s ~ Ц2ж/А). Для вычисления модовых амплитуд с помощью уравнений связанных мод (6.4.33) возмущение Ae (х, z) необходимо разложить в ряд
г = О Z = L
(11.4.1)
Л
п
х = 0
X
-а
Волноводный слой
Подложка
РИС. 11.6. Гофрированный периодический волновод. Направляемые волны и интегральная оптика
465
Фурье. Рассмотрим конкретный пример, когда гофрированная поверхность имеет вид прямоугольных импульсов, как показано на рис. 11.6. В этом случае возмущение диэлектрической постоянной Ae (X, z) можно записать в виде
где
Ае(х) = /Є°("' ~
10, в остальных случаях,
(11.4.2)
(11.4.3)
a f(z) — прямоугольная функция, определяемая выражением (6.5.8). Используя для функции/(г) разложение Фурье (6.5.10), выражение (11.4.2) для возмущения диэлектрической проницаемости Дє(х, z) можно записать следующим образом:
Ae(x,z) = Ae(x){i +
Ае(х, z) = ?е,(х)ехр
Выражение (11.4.5) представляет собой более общую форму разложения. В случае гофрированной поверхности, имеющий вид прямоугольных импульсов, 1-я фурье-компонента ef (х) дается выражением
(11.4.4)
(11.4.5)
е,(х) =
iAe(x) Itr
/= ±1, ±3, ±5,...,
±Де(х), 1 = 0, 10, /= ±2, ±4.....
(11.4.6)
Связь между прямой (?s) и отраженной ( — ?s) модами описывается уравнениями связанных мод (6.4.33), которые в данном случае принимают вид
M1 dz
Bl
dz
= -iKBse^?z,
(11.4.7)
= ік*А<е
-i\?z
30-631 і 466
Глава 5
где Bs — амплитуда отраженной моды (- ?s), а A? и к даются соответственно выражениями
(П.4.8)
у ^
TJ «/(*)|?,(*)Г<**.
со
(11.4.9)
Заметим, что полная мощность, переносимая обеими модами, сохраняется, поскольку
TA\Af-\Bf]=0.
dz
(11.4.10)
Используя выражения (11.4,3) и (11.4.6), постоянную связи к для нечетных / можно записать в виде
1,3,5,....
(11.4.11)
На практике период Л выбирается таким образом, чтобы A? ~ 0 при некотором значении /. Заметим, что при A? = 0 справедливо равенство
Л = Л?>/2,
где А[)> = 2r/?s — длина волны 5-й моды в волноводе.
Теперь можно использовать явные выражения (11.2.3) для поля 6'Лх) в случае ТЕ-мод. Постоянная связи к принимает вид
к =
WC0(и? - п\) го с2
» — п
Altt
coshsx --- Ti sin h,x
dx.
(11.4.12)
Хотя с учетом выражений (11.2.3) и (11.2.5) интеграл здесь может быть вычислен точно, особенно просто его вычислить в области, находящейся намного выше частоты отсечки [t(n2 — n^)/s\ > 1]. Тогда из выражений (11.2.4) и (11.2.5) получаем Направляемые волны и интегральная оптика
