Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
467
?s ~п2к0,
ITS t
S= 1,2, ... = поперечное модовое число,
(11.4.13)
Эти результаты могут быть проверены с помощью соотношений (11.2.4) и (11.2.5). Кроме того, поскольку qs > hs, из (11.2.7) мы имеем
2 _ Ah1sUH
s
C =
?stq}
В случае hsa < 1 интеграл в (11.4.11) равен
л з
а постоянная связи принимает вид
чУ
к„ & -I-
2„2 „2 _ „2
.Iif1S1 П
3IX
X
1 +
Х/а
2-п
+
(Va)2
(,п\-пО'72 4^{nl-n1)
(11.4.14)
(11.4.15)
Таким образом, задача сводится к решению системы двух дифференциальных уравнений (11.4.7), в которых постоянная связи определяется выражением (11.4.15). Следует заметить, что выражение (11.4.15) справедливо лишь для ТЕ-мод.
Общее решение уравнений связанных мод, имеющих противоположные направления, дается выражением (6.4.35). Рассмотрим волновод с гофрированным участком поверхности длиной L, как показано на рис. 11.6. Пусть слева на гофрированный участок падает волна с амплитудой А (0). В этом случае граничные условия записываются в виде A(z) = A(O) при Z = 0 и B(z) = 0 при z - L. Подставляя Af(z) = /1(0) и A2(L) = 0в общее решение (6.4.35), получаем следующие выражения для модовых амплитуд:
A(z) = Al0)е^/2 PcMi- -Z) + i(l/2)A?shs(L - z) L s chsL + і (I/2) A? sh sL
і 468
Глава 5
(11.4.16)
B(z) = A(O)e^2 где 5 и A? даются выражениями
^= ]/к*к- (\A?)2, (11.4.17)
A? = (ПЛ18)
За исключением постоянной связи, эти выражения совпадают с соответствующими выражениями для случая отражения от периодически слоистой среды. Доля мощности, связанная с модой (—?s), распространяющейся назад, называется коэффициентом отражения моды и определяется следующим образом:
R =
B(O) 2
A(O)
Используя выражения (11.4.16), получаем
(11.4.19)
R = —. (11.4.20)
S2 ch2sl + (A?/2)2 sh2 sL
Это выражение также совпадает с коэффициентом отражения для периодически слоистой среды (6.6.10). В соответствии с (11.4.20) при выполнении условия фазового синхронизма A? = 0 коэффициент отражения R достигает своего максимального значения:
Ятах = Ih2ULl. (11.4.21)
Амплитуды мод при этом (A? = 0) задаются, согласно выражениям (11.4.16), следующим образом:
chUI(L - z)
A(z) = A(O)
B(z) = A(O)
ch IkLI
(11.4.22)
— ік* sh I к I (L - z) chULl '
На рис. 11.7 представлены зависимости мощностей IA (z) 12 и IB(z) 12 от z в этом случае. Следует заметить, что в возмущенной области мощность падающей моды уменьшается по экспоненциаль- Направляемые волны и интегральная оптика
469
! Возмущенная часть і волновода
м,
TJTJTJ-LTLTLf
Волноводный і
Волноводный слой
-I.
Подложка
Возмущение - вызывает-модовую
tAlOll3 связь здесь
Возмущенная область
•« о
> - l
РИС. 11.7. Вверху, гофрированная часть диэлектрического волновода. Внизу, интенсивности падающей и отраженной волн внутри гофрированной области.
ному закону. Это полностью совпадает с тем, что происходит при отражении света от периодически слоистой среды (см. разд. 6.6 и рис. 6.14). Экспоненциальное затухание падающей волны, показанное на рис. 11.7, обусловлено ее взаимодействием с волной, распространяющейся назад. Такое уменьшение амплитуды моды можно также объяснить, используя комплексные блоховские волновые числа, когда падающая волна удовлетворяет условию Брэгга (A? = 0). Из выражений (11.3.2), (11.4.16) и (11.4.18) следует, что в периодическом волноводе зависящие от z части волновых решений являются экспонентами с постоянными распространения
Эти постоянные распространения совпадают с блоховскими волновыми числами, если поле (11.3.2) записать в виде блоховской полны.
Пусть ш0 — частота, при которой выполнено условие фазового синхронизма A? = 0. Тогда A? можно записать в виде
(11.4.23)
(11.4.24) і 470
Глава 5
где п — эффективный показатель преломления направляемой волны (т. е. ?s = пы/с). Таким образом, блоховское волновое число ?' можно записать следующим образом:
Длина волны, А
РИС. 11.8. К иллюстрации действия фильтра на основе гофрированного тонколле-нонного волновода. Сплошная кривая — отражательная способность фильтра в зависимости от отклонения длины волны от брэгговского условия; штриховая кривая— вычисленная по формуле (11.4.20) отражательная способность фильтра \B(O)/A (O)I2. (Из работы [8].) Направляемые волны и интегральная оптика
471
Заметим, что в частотной области, для которой —21 к I < A? < < 21к1, величина ?' имеет мнимую часть. Эта область называется «запрещенной зоной» периодического волновода, изображенного на рис. 11.6; формально она совпадает с аналогичной зоной периодической слоистой среды (см. разд. 6.6). Падающие волны, частоты которых соответствуют этой области, являются затухающими на гофрированном участке и испытывают сильное отражение при ус-ловйи, что длина взаимодействия L достаточно большая. Таким образом, гофрированная часть волновода действует как заграждающий фильтр, ширина полосы которого в соответствии с (11.4.23) определяется выражением A? = 41 кі, или [см. (11.4.24)]
