Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
?a = ?, + acxm'
записывается в виде т = 1,2,3,...,
(11.7.21) і 494
Глава 5
РИС. 11.19. Схематическое представление электрооптического модулятора из решетки в волноводе на LiNb^Ta1 ^O3 — LiTaO3. Мода, возбуждаемая в волноводе с помощью призмы, отклоняется на угол 2вд, когда к гребенчатой системе электродов прикладывается напряжение; Л = 7,6 мкм и / = 0,3 см. Кривые показывают процентное отношение дифрагированного света в зависимости от приложенного напряжения. ? — 4976 A (Не — Se-лазер); + — 5598 A (Не — Se-лазер); • — 6328 A (Не — Ne-лазер). Сплошные кривые соответствуют функции Sin2(Bl70)1 нормированной к данным при 75%. [Из работы: HammerJ., Phillips W., Appl. Phys. Lett., 24, 545 (1974).J
где Л —* период пространственной модуляции и aG — единичный вектор, перпендикулярный линиям с равными значениями показателя преломления (т. е. нормаль к электродам на рис. 11.19). Векторы ?i и ?d располагаются в плоскости волновода.
На рис. 11.20 представлена диаграмма «импульсов», соответствующая условию (11.7.21) для случая т = 1.
Используя формальную эквивалентность этого случая брэгговской дифракции на звуковой волне, эффективность дифракции [см. выражение (9.5.20)] можно записать в виде
Ц = sin2^klAn),
(11.7.22) Направляемые волны и интегральная оптика
495
Ie л
"V
і.
Л
а
б
РИС. 11.20. а — диаграмма «импульсов» при дифракции падающей моды (?.) в моду ?d в случае электрооптического изменения показателя преломления с периодом Л; б — вид плоскости волновода сверху, показывающий направления падающего (?¦) и дифрагированного (?d) пучков, а также плоскость образующейся «решетки» показателей преломления.
где An — амплитуда модуляции показателя преломления, связанная с соответствующей фурье-компонентой E1 (т = I для брэгговской дифракции первого порядка) низкочастотного электрического поля соотношением (7.2.9); таким образом,
где г — элемент электрооптического тензора, который зависит от ориентации кристалла. Подставляя выражение (11.7.23) в (11.7.22), имеем
Поскольку поле E1 пропорционально приложенному напряжению Vq, эффективность дифракции (11.7.24) можно записать в виде
где величина В обратно пропорциональна оптической длине волны X.
Экспериментальные кривые на рис. 11.19 находятся в согласии с теоретическим выражением (11.7.25).
11.8. НАПРАВЛЕННАЯ СВЯЗЬ
Рассмотрим теперь связь между модами двух параллельных волноводов, разделенных конечным расстоянием. Обмен энергией между направляемыми модами примыкающих волноводов известен как
А п = WrEv
(11.7.23)
(11.7.24)
Ц = Sin2(JSF0)
1I
(11.7.25) 496
Глава 11
У
X
-S-
»1 »2 »1 »2 »1
-2 t-s -t-s -t 0
б
РИС. 11.21. а — общая волноводная структура, состоящая из двух параллельных цилиндрических волноводов; б — два идентичных планарных волновода, разделенных расстоянием I. An2(X) = (п2 - п2) при —t < х < 0; An2(X) = (п2 - п2) при — 2/ - S < X < -t-s.
направленная связь. Это явление аналогично движению электрона в двухатомной молекуле. Волноводные направленные ответвители выполняют множество полезных функций в интегрально-оптичес-ких устройствах, включая деление мощности, модуляцию, переключение, частотную и поляризационную селекции.
Волноводная связь может быть исследована с помощью теории Направляемые волны и интегральная оптика
497
связанных мод. Рассмотрим случай двух цилиндрических волноводов, изображенных на рис. 11.21. Пусть cf(x, y)e'^'~0aZ> и 4.(*' У)е'(й" ?bZ)— моды, каждая из которых распространяется в своем волноводе, когда волноводы удалены друг от друга. Электрическое поле в структуре двух связанных волноводов при условии, что волноводы расположены не слишком близко друг к другу, приближенно можно записать в виде
Е(х, у, Z, 0 = A(z)&a(x, ^)e'(-'-A') + B(Z)SbOс, ^)е'(-'-Л').
(11.8.1)
В отсутствие связи, т. е. если расстояние между волноводами а и b является бесконечным, A(z) и B(z) не зависят от г и друг от друга. Поэтому каждый из двух членов в правой части выражения (11.8.1) удовлетворяет волновому уравнению (11.1.4) по отдельности.
Пусть п2(х, у) — распределение показателя преломления комбинированной волноводной структуры. Для изучения модовой связи запишем показатель преломления в виде суммы трех частей:
п2(х, У) = п2г(х, у) + Ап2а(х, у) + Arifrx, у), (11.8.2)
где nfrx, у) — распределение показателя преломления окружающей среды (покрытия), Anfrx, у) и Anfrx, у) — показатели преломления волноводов а и b соответственно. Таким образом, очевидно, что отдельные волноводные моды <?а(х, у) удовлетворяют уравнению
+ +'^J ["?(*. У) + ^frx, ,)]}S.(*. У) = ?2&a(x, у),
а = а, Ь. (11.8.3)
Присутствие волновода b вызывает возмущение диэлектрической проницаемости S0Anfrx, у) при распространении моды ?(х,у)х xei(ut-?az) и наоборот. Полное электрическое поле (11.8.1) должно
удовлетворять волновому уравнению
+^wax' у)+Anlix'у)+^nlix' ')]}Е=
(11.8.4)
Для получения системы уравнений для модовых амплитуд A(z) и B(z) подставим выражение (11.8.1) в уравнение (11.8.4) и воспользу-
