Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
где е0{х, у) — невозмущенная часть диэлектрической проницаемости, определяющая структуру волновода. Волновое распространение в таком возмущенном волноводе можно всегда представить в виде линейной комбинации невозмущенных собственных мод:
где Am(z) — амплитуды мод, зависящие от продольной координаты z. Эти собственные моды <*т(х, у) ехр [/'(uit - ?mz)] удовлетворяют следующему волновому уравнению:
е(х, у, z) = e0(jc, у) + Ае(х, у, z),
(11.3.1)
E = I.Am(z)Sm(x, >>)exp[/(w/ - ?mz)],
(11.3.2)
д д2
TT + TT+ WW*> " Pm =
(11.3.3)і 460
Глава 5
где мы пренебрегли членом V(V-E), что оправданно, если изменение величины е0(х, у) на длине волны мало. В случае планарных волноводов є0(х, у) является скачкообразной функцией на диэлектрических границах и для ТЕ-мод V-E= 0, поскольку E Ve = 0. Следовательно, в этом случае уравнение (11.3.3) справедливо. В случае же TM-мод планарного волновода уравнение (11.3.3) на границах не справедливо.
Эти моды являются взаимно ортогональными и удовлетворяют следующему условию ортогональности:
<«l*>s fa-Skdxdy=y^6km. (11.3.4)
Условие (11.3.4) выполняется всегда, когда справедливо уравнение (11.3.3).
Подставляя выражение (11.3.2) в волновое уравнение (6.4.7) и используя (11.3.4), получаем следующие уравнения:
^Ak(Z)= (11.3.5)
где <?ІДеІю> определяется в виде
(*|Д«И> = f&t -Ae$mdxdy. (11.3.6)
Уравнения (11.3.5) описывают эволюцию модовых амплитуд Ak(z) в процессе распространения волн вдоль волновода и представляют собой систему дифференциальных уравнений, решения которых можно получить для целого ряда модовых взаимодействий [2]. В следующем разделе мы рассмотрим некоторые важные примеры. Частным случаем, заслуживающим внимания, является возмущение диэлектрической проницаемости Де = Ae (х, у), зависящее только от координат х и у (т. е. случай de/dz = 0). Этот вопрос мы обсудим ниже.
11.3.1. ОДНОРОДНОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ
Метод связанных мод, рассмотренный выше, позволяет исследовать взаимодействие невозмущенных мод, обусловленное возмущением диэлектрической проницаемости, в частности когда возмущение не зависит от z¦ Во многих практических ситуациях задача состоит в том, чтобы найти моды всей волноводной структуры, име-Направляемые волны и интегральная оптика
461
ющей возмущение диэлектрической проницаемости Ae (х, у). В случае когда волновое уравнение решить трудно (или его нельзя решить непосредственно), для решения таких задач применяется теория возмущений. Возмущение Де (х, у) нередко выбирают таким образом, чтобы невозмущенная волноводная структура имела известное решение или решение для нее можно было легко найти. Пусть невозмущенные моды имеют вид
Em = Sm(x, y)exp[i(ut - ?mz)], w = O, 1,2,...,
поперечные модовые функции которых г?т удовлетворяют невозмущенному волновому уравнению
[ V,2 + o,2lie(x, y)]Sm(x, у) = ?2Sm(x, у). (11.3.7)
Эти моды образуют полную ортогональную систему функций, как было показано в разд. 11.1, и удовлетворяют условию ортогональности
j&*.SlClxdy= J^Sml. (11.3.8)
Рассмотрим теперь влияние возмущения диэлектрической проницаемости Ae (х, у), которое мало по сравнению с е(х, у). Предположим, что столь малое возмущение будет вызывать лишь небольшие изменения модовых функций и постоянных распространения. Пусть модовые функции изменяются на величину 5<?т, а постоянные распространения — на b?2т. Правильное волновое уравнение теперь принимает вид
[ V,2 + «V + Де](Sm + SSm) = {?2 + 8?m)(Sm + SSm). (11.3.9)
Если пренебречь здесь членами второго порядка малости AEbrfm и &?mb(fm и воспользоваться соотношением (11.3.7), уравнение (11.3.9) можно записать в более простом виде:
[ V,2 + U2lIe] SSm + U2tl AeSm = ?2 SSm + S?2Sm. (11.3.10)
Чтобы решить это уравнение, разложим 5 (? в ряд по невозмущенным модовым функциям:
у) = у), (11.3.11)
/і 462
Глава 5
где aml — постоянные коэффициенты. Подставляя в уравнение (11.3.10) выражение (11.3.11) для Ь?т и используя (11.3.7), получаем
2Х/(Д2 - = (»?m - (11.3.12)
і
Умножим теперь это уравнение на и проинтегрируем по всей плоскости ху. При этом благодаря условию ортогональности (11.3.8) выражение слева окажется равным нулю. Таким образом, мы имеем следующее уравнение:
fS*'(S?2- U21I Ae)Smdxdy = 0. (11.3.13)
Поскольку b?2m — постоянная величина, из (11.3.13) следует
fS*-u2?Ae(x, y)Smdxdy 8?2=--. (11.3.14)
* • Sm dxdy
Это выражение дает поправку первого порядка к постоянной распространения ?2r Используя условие (11.3.8) и равенство b?2n = = 2?m5?m, выражение (11.3.14) можно также записать в виде
Wm =1/?' М*. y)Smdxdy. (П.3.15)
Для получения поправки 5 <?т к модовой функции умножим левую и правую части уравнения (11.3.12) на (/ Ф т) и проинтегрируем по переменным x и у. Это дает
"M-?U^ = -/&?• U2H Ае(х,у)ёт dxdy; (11.3.16)
здесь мы использовали условие ортогональности (11.3.8) для невозмущенных мод. Таким образом, коэффициенты разложения (11.3.11) для Scfl в ряд по функциям <S\ можно записать в виде