Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
Усиление в объемной среде описывается комплексной диэлектрической проницаемостью er + Iej с положительной мнимой частью Є- > 0. При этом постоянная распространения к' плоской волны запишется в виде
где к — постоянная распространения волны в отсутствие усиления, определяемая выражением
В случае BjZer < 1 выражение (11.6.1) можно записать следующим образом:
Если подставить теперь это выражение для к' в (1.4.10), то плоская волна, распространяющаяся в направлении оси z, принимает вид
(11.6.1)
к2 = и2цег .
(11.6.2)
(11.6.3)
(11.6.4) Направляемые волны и интегральная оптика
475
Отсюда следует, что интенсивность волны возрастает в соответствии с выражением
•/(z) = /0e*z, (11.6.5)
где коэффициент усиления g= (11.6.6)
При наличии усиления в периодической среде тензор диэлектрической проницаемости (11.3.1) можно переписать в виде
е(х, у, z) = ?0(х, у, Z) + Ае(х, у, z) + iy(x, у, z), (11.6.7)
где є (х, у, z) — невозмущенная часть тензора диэлектрической проницаемости, Дє(х, у, z) — возмущение диэлектрической проницаемости (вещественная величина) и у(х, у, z) — часть возмущения, обусловленная усилением. Заменяя в (11.3.5) величину Дє на Дє + + іу, получаем следующие уравнения связанных мод:
j-Ak(z) = m)Am{z)e^-^ +
(11.6.8)
где величина (к\Ае\т) определяется выражением (11.3.6), а < к 171 /> — выражением
(к\у\1)= j&t-y&,dxdy. (11.6.9)
Для того чтобы показать, как влияет усиление на характеристики связи встречных волн, рассмотрим усиление, которое является однородным в направлении z, т. е. у(х, у, z) - у(х, у). Используя выражения (11.4.5) или (6.4.15), уравнения связанных мод (11.6.8) можно записать в виде
fzAk(z)= (11.6.10)
І "ЛІ m
где gk — коэффициент усиления к-й моды, определяемый выраже- 476
Глава 11
ниєм
(11.6.11)
Мы пренебрегли членами, отвечающими за усиление, которые имеют зависимость вида el(?k~?t)z, поскольку они являются быстроменяющимися функциями координаты z и не дают вклада в модовую амплитуду Ak(z).
Рассмотрим теперь частный случай, когда ?s ~ I(ж/Л), т. е. 5-я мода сильно связана с распространяющейся назад модой (~?s). Оставляя в (11.6.10) лишь медленноменяющиеся члены, уравнения связанных мод сводятся к следующей системе двух уравнений:
где А и В — амплитуды мод As и A_s соответственно, величина к определяется выражением (11.4.9), A? — выражением (11.4.8), a g равна gs [см. (11.6.11)]. В случае когда постоянная связи к обращается в нуль, амплитуды мод принимают вид
что находится в полном согласии с выражением (11.6.5). При конечном значении к уравнения (11.6.12) нетрудно решить, если ввести функции A' (z) и В' (z), определяемые следующим образом:
f" = -ікВе'*' + igA,
JD
-Г = ік'Ае-'*" - jgB
(11.6.12)
A(z) = A(O)e'gz,
(11.6.13)
B(z) = B(0)e-igz
A(z) = A'(z)e*gz
(11.6.14)
B(z) = B'(z)e-igz.
При этом система уравнений (11.6.12) принимает вид
= -ікВ'е'М+Ь)*,
dz
(11.6.15)
dz Направляемые волны и интегральная оптика
477
Таким образом, мы получили уравнения, вид которых совпадает с уравнениями (11.4.7), если сделать замену
A? A? + ig.
(11.6.16)
Использование этой замены и выражений (11.4.16) позволяет нам непосредственно написать решения для амплитуд падающей А (z) = = А' (z)e*zn и отраженной B(z) = Br(Z)Cgzn мод в области длиной L в случае, когда на гофрированный участок при z = 0 падает одна волна с амплитудой А (0):
A(z) = А(0)е^г
S ch s(L - z) + i\(A? + ig) sh s(L - z) s ch sL + ij(A? + ig) sh sL
B(z) = A( 0)e
-/ІД/87
-jK*sh s(L - z)
s ch sL + ij(A? + ig) sh sL где s и A? даются выражениями
S = Jk*k - [$(A? + ig)]2,
A? = ?s-(-?s) -Il4t
A
(11.6.17)
(11.6.18) (11.6.19)
To, что 5 является теперь комплексной величиной, свидетельствует о качественном различии между решениями в случае пассивного периодического волновода [см. выражения (11.4.16)] и в случае периодического волновода с усилением [см. выражения (11.6.17)]. Для иллюстрации этого различия рассмотрим случай, когда выполнено условие
s ch sL + ij(A? + ig) sh sL = 0-
(11.6.20)
Из выражений (11.6.17) следует, что как коэффициент отражения B(O)ZA (0), так и коэффициент прохождения A (L)ZA (0) при этом обращаются в бесконечность. Устройство действует как генератор, поскольку оно обеспечивает ненулевые значения полей B(O) и A (L) на выходе при нулевом поле на входе И(0) = 0]. Следовательно, условие (11.6.20) представляет собой условие генерации для лазера с распределенной обратной связью [9]. В случае g = 0 из выражений (11.4.16) или (11.4.20) следует, что U(L)M(O)I < 1 и \ В(O)ZA (0)1 < 1, т. е. мы имеем пассивное устройство без общего усиления. і 478
Глава 5
ж оі — /110) ¦«-
H-Sh
Усиление Волноводный слой
Подложка
I I S(O)I I I I I ] I AILIl
\ I I I I I I уГ \ / I / I X I / I I
I I I I I 1/4(01 j^ J I I I I I ---- I ----- I
I I
РИС. 11.9. Амплитуды падающей и отраженной волн в усиливающем периодическом волноводе.
