Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Мы должны исходить из системы уравнений Максвелла
Здесь b,D- магнитная и электрическая индукция, а Н,Е - соответственно напряженности переменного магнитного и электрического полей; р0.У0 - плотности внешних зарядов и токов, которые будем считать равными нулю. Для того чтобы замкнуть систему уравнений (3.240) - (3.243), необходимо дописать так называемые материальные уравнения, связывающие D и А с Е и Ь:
Поляризация Р есть индуцированный полем средний дипольный момент единицы объема:
1
Р = — <?<¦/*/>,
V I
где суммирование ведется по всем частицам / с координатами дг/ и зарядами е,\ угловые скобки означают усреднение по неравновесному распределению в поле. Величина Р связана с плотностью индуцированного тока
div Ь = 0,
(3.240)
div D = 4тгр0;
(3.241)
1 д Ь
rot Е =----------------------,
с bt
(3.242)
1 bD rot А = — — +
с bt
с
(3.243)
D =? + 4tiP,
(3.244)
Н =Ь ~ 4тгМ.
(3.245)
1 Аг,-
/= — (Ъе, — )
V 1 dt
соотношением
дР/д! = /.
(3.246)
168
Что касается намагниченности М, то дна в нормальных металлах обычно очень мала вследствие малости восприимчивости х Несмотря на это, существует ряд высокочастотных явлений, где она играет определяющую роль (например, электронный парамагнитный резонанс). Мы здесь таких явлений рассматривать не будем и положим Ь = Л.
Будем рассматривать монохроматическое электромагнитное поле частоты ы, когда Л, Е ~е.хр (~iu>t), d/dt ->-i'w. С учетом сказанного выше, перепишем систему уравнений (3.240) - (3.243) в виде
div А = 0. div D = 0,
ICJ
rot Е = — А,
с
iui
rot А -------D.
с
Уравнения (3.247) div rot = 0 и далее
ICJ
rot rot Е - — г
с
Согласно (3.244),
4тг i
D = Е +------j.
и>
Подставляя (3.252) в (3.251) и используя тождество divrot = 0, получим уравнение cjj / 4я/ \
vdiv Е - +----jj. (3.253)
Плотность тока j выражается через Е из решения кинетического уравнения. Возникает вопрос: какие изменения надо сделать при этом по сравнению с § 3.6?
Прежде всего, неравновесная добавка к функции распределения будет явно зависеть от времени как ехр (-/ыг), если такова временная зависимость входящего в кинетическое уравнение внешнего поля Е, и мы решаем это уравнение в линейном по Е приближении. Тогда в (3.159) вместе со слагаемым b,-b.= >1, /т можно сгруппировать член dnl/dt = - iwn,, что приведет к замене
7'1 -> т * 1 - 1ы, т -» т (1 - /иг)'1 (3.254)
во всех формулах § 3.6. Далее, переменное электрическое поле Е неизбежно сопровождается переменным магнитным полем А, и в уравнении, скажем, (3.175) надо, кроме замены (3.254), сделать замену Едп0 /dv -> (Е + с'1 [vA]) дп„ /dv. Это, однако, ничего не меняет, так как
дп0 дп0
[vA]-----=m [vA] v---------- 0.
dv de
He следует путать поле волны А с внешним магнитным полем Н, которое, согласно п. 3.6.5, входит в кинетическое уравнение очень существенным образом в виде членов ~Нп1; учет членов ~hnl был бы превышением точности, так как А ~Е и и, ~Е. Итак, в этом пункте никаких изменений по сравнению с § 3.6 делать не надо. И, наконец, самое главное: переменное электрическое поле обязательно неоднородно в пространстве; значит, неоднородным будет и л,, и в кинетическом уравнении необходимо учитывать диффузионный член (vvr)n,, . который не учитывался в § 3.6. Его учет
(3.247)
(3.248)
(3.249)
(3.250)
и (3.248) вытекают из (3.249) и (3.250) в силу тождества рассматриваться не будут.
otA = — D. (3.251)
с2
(3.246),
(3.252)
169
ведет к так называемым эффектам нелокальное™ (пространственной дисперсии), которые уместно рассмотреть в гл. 5 в связи с обсуждением плазменной модели металла. Здесь диффузионным членом мы пренебрежем. Он мал по сравнению с onjdt или ht
- b_ , если
v/6 < max (ы, г). (3.255)
где v - характерная скорость электронов (в металлах - фермиевская скорость), 6 - характерная длина, на которой существенно меняется поле (и, следовательно, й,). Мы будем считать условие (3.255) выполненным (локальный режим), тогда ток / будет выражаться через поле Е формулами п. 3.6.2 и 3.6.5 с заменой (3.254).
