Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
n~d~\ (4.1)
и, следовательно,
Рф-hd(4.2) Используя выражение длины волны де Бройля
ХБ~/г/р, (4.3)
в силу (4.2) находим, что электроны у поверхности Ферми имеют ХБ ~d, т.е. меньше 10~7 см.
Пусть Si — интенсивность электронных волн, рассеянных отдельными атомами, a Na — число атомов в малом объеме К(К'? ^ХБ). Тогда все атомы объема К колеблются в фазе, и суммарная амплитуда волн, рассеянных в этом объеме, пропорциональна Na, а полная интенсивность равна Si Ng. Ее часть от рассеяния на флуктуациях числа атомов, определяемых разностью между истинным числом Na и его средним значением Nа, равна
*1 ("а - «а)2 У2 =*1 (ДЛа)2 V1, где па = Na/V — плотность. Коэффициент рассеяния единицы объема равен
s = Si (Дна)2 V. (4.4)
Для очень коротких волн ХБ К1/3 рассеянные волны некогерентны,
поэтому не их суммарная амплитуда, а интенсивность пропорциональна числу рассеивателей. Тогда вместо (4.4) получаем
S ~ S1 /Га . (4.5)
Если рассеивающая среда - газ, то (4.4) и (4.5) просто совпадают, ибо
из кинетической теории газов известно, что
(Д/VJ2 = Na или (Дла)2 =na/V.
В газе средняя длина свободного пробега равна / ~(-па2пау1 = s'1, где а — радиус поперечного сечения атома для электрона. Отсюда и из (4.4)
1 Френкель Я.И. Волновая механика, т.1. - М. - Л.: ГТТИ, 1933, § 34.
179
видно, что коэффициент рассеяния sx равен эффективному сечению изолированного атома: па2. Формулу (4.4) для произвольной среды можно представить внешне совпадающей с (4.5) для газа
s = -па? «о
где ах - эффективный радиус атома, согласно (4.4) имеющий вид
a? =а2 (Апа)2 V/na. (4.6)
Таким образом, и в твердой фазе можно пользоваться характеристиками рассеяния в газе, если вместо истинного радиуса атома ввести эффектив-ный по (4.6). Отсюда видно, что а, <аи зависит от Т через (Дла )5 ияа. Эту зависимость легко определить. Рассмотрим не фиксированный объем V, а заданное число атомов Na . При равновесии они заполняют равновесный объем К. Из-за теплового движения возникают флуктуации объема V - V, вызывающие флуктуацию энергии газа, равную по (3.87)
К (V - V)2! 2V. (4.7)
Поскольку вероятность отклонения AV = V V равнаехр(— K(AV)2 /2УкБТ), для средней квадратичной флуктуации имеем
( AV)2 =/ dAV(AV)2 ехр [ - A' (AV)2/2VkBT] X
_ во
+
X (/ dAVехр [-K(AV)2/2Vkb Т] )_1 = VkbTK'1.
Из условия Na = const находим AV/V = - Апа/па, и поэтому
(Anaf V=tfkBTK~x. (4.8)
Подставляя (4.8) в (4.6), находим
а 2 /а1 = п а кв Т/К. (4.9)
В случае Na при Т=ШКи па = 1022 см"3, К = 3-1010 эрг/см3, и поэтому из (4.9) находим
а?/а2 ~ 10‘2,
т.е. эффективный радиус атома в десятки раз меньше истинного. Его можно отождествить со средней амплитудой тепловых колебаний атома кристалла. По определению модуля сжимаемости, изменение потенциальной энергии атома при его смещении ах из положения равновесия, согласно (4.7), равно Ка2/паа2. Эта величина при температуре Г будет порядка кБ Т. Отсюда сразу получаем (4.9). Подставляя (4.8) в (4.4) и заменяя s через /"', находим для электронов в металле
l=K/s^}kbT. (4.10)
Формулы (4.10) и (3.4) или (3.5) дают правильную зависимость а (Т)
(при комнатных температурах) и правильное значение для Г~ 10~5 см.
Этот расчет / в общем правильно разрешает трудности газовой модели. Однако он несовершенен с количественной стороны, поскольку в нем не учтено влияние периодического поля кристалла, по-прежнему использован
180
"свободный” электрон, описываемый плоской волной. Последовательную квантовую (зонную)теорию в таком поле впервые предложил Блох Ф. (1928) (см. ниже).
4.1.2. Цепочка прямоугольных потенциа1гъных барьеров 1
Прежде чем начать изложение зонной теории трехмерного кристалла, исследуем два примера одномерного периодического поля.
Сперва рассмотрим задачу о прямоугольных барьерах, расположенных вдоль оси х (рис. 4.1) (Р. Крониг, Дж. В. Пенни, 1931) с высотой V0 и
VU)
Рис. 4.1. Цепочка прямоугольных потенциальных барьеров.
b .
a %
-1 0 0 1 1 2 г
с X
шириной д; потенциальные ямы между ними имеют ширину Ь. Таким образом, период равен
с=а + Ь. (4.11)
Выберем начало координат у правого края одного из барьеров. Барьер, правая сторона которого имеет координату х = пс (п = 0, ± 1,.. .), назовем /7-м барьером, а яму с правой стороной в точке х = пс - а - п-й’ямой. Уравнение Шредингера имеет вид
(]2ф/(]х2 + (2m/h2) [? - V (*)] ф = 0. (4.12)
