Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Продольные колебания (их называют плазменными или ленгмюровскими в честь Ленгмюра И., рассматривавшего аналогичные колебания в> газовой плазме) сильно взаимодействуют с электрическим полем, создаваемым пучком быстрых электронов. Электроны теряют энергию на рождение плазмонов (квантов плазменных колебаний). Так же, как это рассматривалось в гл. 2 для нейтронов и фононов, из закона сохранения энергии может быть получена формула для соответствующих потерь энергии (их называют характеристическими):
Де = -hejp. (3.300)
Подробнее теория этих потерь будет рассмотрена в гл. 5.
В отсутствие магнитного поля в металлах существует еще один тип волн - поверхностные плазменные волны (поверхностные плазмоны).
Пусть металл занимает полупространство х > 0, а волна распространяется вдоль оси у:
Е = E(x)expikyI- h = h(x) expiky. (3.301)
Система уравнений Максвелла (3.247) - (3.250) для изотропной среды распадается на несвязанные между собой системы уравнений для Ех. Еу, hz (так называемая р-поляризация) и Ег, hx, hy (s-поляризация). Интересующие нас волны р-поляризо-вапы. Подставлял (3.301) в (3.247)-(3.250) и учитывая, <гго в изотропной среде
175
D II?, получим
bDx
—- + ikDy = 0, (3.302)
Эх
bEv icj
— - ikEx =--------hz, (3.303)
Эх с
iui
ikhz =--------Dx, (3.304)
с
dhz iu
— = — Dy. (3.305)
дх С
Уравнение (3.305) вытекает из (3.302), (3.304) и дальше рассматриваться не будет. Подставляя (3.304) в (3.303), получаем
ЪЕ у i lj
------ - ikEx = ------ Dx. (3.306)
дх кс2
Мы должны решить систему (3.302), (3.306) с добавлением материальных уравнений
D= (1 - u2p/lj2)E, х > 0, D = E, х<0 (3.307)
и граничных условий
Я*(-Ю) = Dx(-0), (3.308)
Еу(лО) = ?^(-0) (3.309)
(непрерывность нормальной к поверхности D и тангенциальной составляющих Е). При х > 0 получаем, дифференцируя по х (3.306) и учитывая (3.302), (3.307),
д1 Еу/дх2 - [к2 - с“1(ш1 - ы2р)] Еу = 0. (3.310)
При
ы1 < с2 к2 + ы2, (3.311)
Еу(х) экспоненциально затухает:
Еу(х) = ?^(0) ехр [-(к2 -с 2(и>2 - cjf,))'/2х]. (3.312)
Аналогично при х > 0 находим
д2Еу/дх2 - (к1 - ш‘/с2)Еу = 0. (3.313)
При
ы1 < с2к7, (3.314)
Еу(х) экспоненциально затухает и по другую сторону от поверхности:
Еу(х) = ?у(0)ехр [(А:1 - ь?/с2)'!2х\. (3.315)
Именно такие волны, в которых вся энергия локализована вблизи поверхности х = 0, и называются поверхностными. Когда мы получим ответ, необходимо будет проверить (3.314) ((3.311) следуетиз (3.314)). Из (3.309) следует, что ?^(+0) = Еу(-0) = ?у(0). Из (3.306), (3.307) находим
/ ik iui2 \ ik к2 с2 - ш1 + lj2
=------------------------UM+0) = ----------------------------------? Ях(+0),
е=+п \1 - wi/ш1 к с2 1 1 - wUlj2 кс2
ЪЕу
Эх
ЪЕу
дх
х=+0 '1 - кс2 1 1 - ь>2р/и>2
к2 с2 - ы2
= / --------------- Dx{- 0). (3.316)
х = -0 кс2
176
Из (3.316), (3.312), (3.315), (3.308) находим, наконец, уравнение для определения зависимости и>{к):
(ы’/ы1 - ЩАг’с’ -и* + и2рУ'/2 = (кгс2 -и1)-'/1. (3.317)
Решая уравнение (3.317), найдем
ш4 - 2и>2 (к2с2 + Vi ч>2р) + uipk2с2 = 0 (3.318)
или
CJ2 = к2с2 + 54 ы2р - САы'р + к*с*у!2, (3.319)
где мы отобрали один из корней уравнения (3.318) в соответствии с условием (3.311). В предельных случаях малых и больших к получаем
(ск, к < шп/с,
и « Р (3.320)
lkJp/v2» к ыр/с.
На примере поверхностного плазмона мы впервые увидели, что существование поверхности твердого тела приводит к появлению иовых типов элементарных возбуждений. Их частоты (энергии) лежат в области, в которой нет частот (энергий) объемных возбуждений аналогичного типа. В этом отношении-они напоминают примесные уровни, рассмотренные для случая фононов в гл. 2. Использование периодических граничных условий (см. гл. 2) приводит к потере таких поверхностных состояний. Это несущественно для расчета объемных величин массивных образцов, скажем, теплоемкости, поверхностный вклад в которую по порядку величины равен отношению характерной глубины проникновения соответствующих поверхностных волн (скажем, фоноиов) к размеру образца. Для тонких пленок, однако, поверхностными эффектами пренебрегать уже нельзя, а для таких величин, как коэффициент отражения, они всегда играют определяющую роль.
