Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь займемся потенциалом. Притяжение между электронами эффективно лишь в слое толщиной htoD (соп — дебаевская частота) вблизи поверхности Ферми.
Дело в том, что эффективное взаимодействие возникает в результате применения теории возмущений, а величины соответствующих вкладов в энергию от виртуальных возбужденных состояний быстро спадают с ростом энергии возбуждения; ho>o — эт0 минимальная характерная энергия связи, и, следовательно, она задает масштаб изменения Vq.
Далее мы должны считать, что рассеяние идет только в состояния, лежащие выше поверхности Ферми; рассеяние под поверхность Ферми запрещено принципом Паули. Чтобы учесть это обстоятельство, надо в (5.200) ввести зависимость Vq не только от q, но и от К (конечно, он перестает быть фурье-образом парного потенциала, но весь физический смысл при этом полностью сохраняется; более строгое рассмотрение подтверждает такой простой и не вполне даже корректный математический подход). Итак, выбираем фононный вклад в Г,в виде
,/Ph f - ^ при tK-q < ho;D,
У Г = (5.201)
I 0 в других случаях
(V > 0). Кроме того, нам надо как-то учесть экранированное кулонов-ское отталкивание между электронами. Оно действует более или менее равномерно по всей энергетической полосе. Смоделируем его таким
1 Эго следует из того, что антипараллельным спинам соответствует антисимметричная спиновая и симметричная координатная волновая функция. Последняя может нигде не обращаться в нуль н, следовательно, описывать основное состояние. См. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. - М.: Наука, 1974, § § 62, 63.
310
вкладом в потенциал:
[ U при 0 ек-д< htof.
4 [ 0 _____________________ (5 202)
Vе
^ I „
в других случаях,
где - энергия порядка ширины полосы.
Теперь положим Vq = K<J)h + Vq . Из (5.200) легко получить
** = (КД, UA2 )Ц2ек - Е), 0 < е* < Ьсоп,
>рк =-UA2/(2eK - Е), hwn<e*<htof. (5.203)
где
1 1 Д1 = — ? (° < < )• Лг " лГ * ** ( 0 < е* <
(5.204)
Подставляя (5.203) в (5.204), получим
Д] = (ИД] — (/Д2) А], Д2 — Д, — UA2 (А2 — А]), (5.205)
где введены обозначения:
А, = 1- 2 (2ек-ЕГх (0<e*<hcoD),
1
А2 = — 2 (2ек - Е)“' (0 < ек < htof). (5.206)
N к
Условие разрешимости системы (5.205) имеет вид 1 - КА, t/A,
-1 1 + t/ (Л2 - А,)
0 (5.207)
или, если раскрыть детерминант,
1 - КА, + U\2 + UV(A2 - А,) А, =0. (5.208)
Перепишем (5.208) в виде
1 - [К- U + VU(A2 - A,)] A, +U( А2 - А,) = 0
или
1 = ^эффЛ,, (5.209)
где
^эфф = К — ?/ [1 + и’(А2 — А,)]-1 (5.210)
Плотность состояний g (е) в слое 0 < ек < huD и (с меньшей точностью) в слое 0<e*<htof может считаться постоянной. Тогда
A, =//D de(2e-E)' = fe/2)In | (2hcoD - Е)/Е\,
О
А2 = (g/2) In | (2htoc - E)IE\ (E < 0). (5.211)
311
Положим |/:'| >4 lioj,,. hcot.. При э гом Л2 ^ Ai + (gl~)ln (tot./ton )
(5.212)
11
(5.213)
В силу кто, что ln(w(/wn)'> 1, вклад кулоновского взаимодействия резко ослабляется1 (Боголюбов Н.Н., Толмачев В.В., Ширков Д.В., 1958). Поэтому обычно 1’,фф > 0. При этом уравнение (5.209) имеет решение
описывающее, как легко понять из сопоставления с § 4.7, связанное состояние двух электронов (купсровскую пару). Ее размер % может быть оценен как из (5.203), так и из простых размерных соображений. Образование связанного состояния вблизи поверхности Ферми приводит к неопределенности их импульсов Ьр такой, что
С другой стороны, из соотношения неопределенностей bp ~~ tyi;, откуда получаем
Таким образом, куперовскую пару не следует представлять как какой-то точечный объект; ее размер велик по сравнению с периодом решетки. Гем не менее она представляет собой устойчивое образование и движется как единое целое.
Условие I Е\ < Iioju выполняется при ?Иэфф ^ 1. В силу существования поверхности Ферми g конечно (для одноэлектронной задачи g обращается в трехмерном случае в нуль на краях полосы). Именно поэтому связанное состояние возникает здесь при сколь угодно малом Кэфф > 0. Подобная неустойчивость (энергетическая выгодность связывания электронов в куперовские пары) приводит к радикальному изменению свойств системы. Феномен Купера лежит в основе микроскопической теории сверхпроводимости (Дж. Бардин, JI. Купер, Дж. Шриффер 1957; Н.Н. Боголюбов, 1958). Мы не будем здесь рассматривать ее подробно, но изложим лишь некоторые простейшие результаты феноменологической теории, основанной на представлении о сверхпроводимости как макроскопическом квантовом явлении. Основы такой трактовки заложили Ф. и Г. Лондоны (1935), а сама теория создана Л.Д. Ландау и В.Л. Гинзбургом (1950).
