Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
20. Зак. 768 305
+ <0| V(rt) I qXq I V(r,) I 0)] =
= - —^ <01 V(rt)V(r2) I 0), (5.172)
h Wo
где h w0 - энергия возбуждения и мы воспользовались условием полноты
Z<<ll«X«| ф) = < ф). (5.173)
Я
Вспомним теперь, что при усреднении по основному состоянию
(0\bqb*q' I 0) =6,,. . <0| Л* ft,-|0> = 0. (5.174)
Подставляя (5.171) в (5.172) и проводя несложные выкладки, найдем
А/:' (г,, г2) = - (8w2/^2/hco0) (е-2/| г, -г, | ). (5.175)
Выясним, какому случаю зто выражение соответствует. В отсутствие поляризации решетки энергия связи двух электронов равна с2/е„ 1л, — г21, где - диэлектрическая проницаемость на высоких частотах (когда решетка не успевает отреагировать на возмущение!). Реально же энергия связи имеет вид с2/е0 \rt г2 | , где е0 — статическая диэлектрическая проницаемость. Это различие объясняется наличием притяжения между электронами (см. (5.175)):
Ео* = е i. - 8т2Г2/\\ш0. (5.176)
Это выражение дает возможность выразить константу связи через наблюдаемые величины.
Вычислим теперь перенормировку спектра электрона при слабом взаимодействии во втором порядке теории возмущений
ДЕк = - ? |<*;0| V\k- q\q)I 2 l(Ek_q + hu0- Ek), (5.177)
Я
где Ek - невозмущенная энергия электрона, | к ;0) - состояние с электроном с волновым вектором к и без фононов, а \k-q.q) - состояние с фоно-ном | q) и (согласно закону сохранения импульса) электроном в состоянии | к - q). Матричный элемент в (5.177), согласно (5.171), равен AniFe2 l\q \. Поэтому
АЕк = -(4nFe2)2 V0f (2тт)~3 dqq~2 [(h2/2m)((k - q)2 -*2)+hu0]'‘ =
= - 8niF2e* H0ff2 я'1 f dq / dx (2kqx + q2 + 2mw0/h)~1 • (5.178)
- i
Вычисляя интеграл, получаем для медленных электронов с к (mco0l h)W2 с учетом (5.178) (здесь проще всего вычислить интеграл разложением по к до второго порядка):
&к ~ Ек + ДА* = h2 к2/2in* - ahw0. т* = /я(1 + а/6), (5.179)
где
а = (e2/2hw0)(2w!wo/h)1'2 (1/е„ - 1/е0) (5.180)
306
используемая в теории полярона безразмерная постоянная; мы положили а^1. Итак, электрон-фононное взаимодействие приводит к увеличению эффективной массы носителей тока (как электрон-электронное, см. (5.139)).
Мы рассмотрели так называемый полярон слабой связи (Фрелих с сотр. 1950). При 1^а^ 10 говорят о промежуточной, а при а> 10 —
о сильной связи. Полярон сильной связи представляет собой автолокапи-зованное состояние электрона в решетке1.
Рассмотрим вкратце подход Пекара (1946), применимый в случае сильной связи. Электрон создает смещение решетки, понижая тем самым полную энергию системы. Последняя состоит из следующих слагаемых: кинетической энергии электрона h2
Т[Ф] = — fdr\ Щ(г)\2, (5.181)
Ъп
где ф (г) — волновая функция; электростатической энергии деформированной решетки2
U[P\ = 2тге* S dr Р2 (г), (5.182)
где е* — эффективная диэлектрическая проницаемость:
1/е* = 1/е„, - 1/е0, (5.183)
которая входит в выражение для F (5.176), а следовательно, дляР (5.168), и энергии взаимодействия поляризации решетки с создаваемой электронами электрической индукцией D [ф,г]:
V= — fdrP(r)D [ф,г], (5.184)
D [Ф,г] = е f dr' (г - r')l(\ г - г'\ )'3 | ф(г')\2. (5.185)
Гамильтониан задачи имеет вид
JC=T+U+V\ (5.186)
он справедлив в адиабатическом приближении (смещения считаются статическими). Это справедливо, если hcj0 много меньше характерных электронных энергий.
Минимизация (5.186) по Р при ф = const дает
P(r) = (4ire,yl D [ф,г]. (5.187)
Подставляя (5.187) в (5.186), получим
Х[ф,г] =h2 (2mjl fdr\Vф\2 -(8яе*Г‘ JdrD2 [ф,г]. (5.188)
1 Идея о существовании таких состояний была высказана Ландау ЛЛ. : Sow. Phys.,
1933, 3, p. 664; Френкелем Я.И. — Sow. Phys., 1936, 9, p. 158. Теорию полярона сильной и промежуточной связи разрабатывали Пекар С.И., Фейнман Р., Боголюбов Н.Н., Тябликов С.В. и многие другие. Подробное положение теории см. в монографии: Пекар С.И. Исследования по электронной теории кристаллов. - М. -Л.: Гостехиздат, 1951, а также в сб.: Поляроны/Под ред. Ю.А. Фирсова. - М.: Наука, 1975, где имеется очень подробная библиография.
2 См. Ландау ЛЛ., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. - М.: Наука, 1957.
307
Если обозначить через I характерный размер области, в которой ’’захвачен” электрон (на самом деле эта область может перемещаться по кристаллу как целое), то первый член порядка h2 /ml2, а второй1 — порядка е2/е„/. Минимизация по/ дает
