Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Для J-состояний могут реализоваться оба случая (переход между ними, согласно 4.4.3, является резким). Атомоподобный характер J-состояний сохраняется во многих полупроводниковых соединениях, например NiO. В других случаях происходят переходы металл - изолятор, связанные с изменением характера J-состояний и формированием полосы. В чистых J-металлах, как будет видно ниже, скорее реализуется "зонный” предел, хотя и с появлением некоторых черт атомоподобного локализованного поведения <7-со стояний.
Начнем наше рассмотрение со случая локализованных J- (или /-) состояний. Тогда каждый атом переходного элемента обладает магнитным моментом. Движение электронов, связанное с изменением их числа на некоторых узлах решетки, энергетически невыгодно, и единственный тип низколежащих (по энергии) возбуждений связан с вращением моментов друг относительно друга (спиновые волны). Такая ситуация описывается моделью Гайзенберга (1928), которую мы сейчас кратко и рассмотрим.
5.6.2. Modejib Гайзенберга
Начнем рассмотрение с системы двух электронов, взаимодействующих посредством потенциала V (г - г), который будем рассматривать как возмущение. В отсутствие взаимодействия электроны находились в состояниях и фг. Полная волновая функция двух невзаимодействующих электронов должна быть антисимметричной относительно перестановки спиновых и пространственных координат, с другой стороны, она представляет
1 Исключая случаи так называемой промежуточной валентности, см. Хомский Д.И. -УФН, 1979, т.129, с.443.
322
собой произведение координатной и спиновой волновых функций:
¦ (г1го, ;г2, а2) = Ф(г,,г2)х(а1>ст2). (5.246)
Для параллельных спинов (полный спин 5=1) перестановка ст, и а2 ничего не меняет, поэтому
X (ffi, cr2) = X (сгг.сп) и Ф(г1,г2) = -Ф(г2,г1).
Тогда
&s=i (ri.ri) = 2~ll2l<Pi ('i)<P2 (гг)*г ('l)] - (5.247)
Дня антипараллельных спинов (5 = 0), как доказывается в любом курсе квантовой механики, х (<*i, о2) = - X (сг2, ст,) и, следовательно, Ф (гг, г2) =
= ф ('7, Г\)• Тогда
*^=0 (гьгз) = 2 1/2[i?i (г,)«р2 (г2) + <р, (г2)<р2 (г,)] . (5.248)
В отсутствие взаимодействия энергия не зависит от полного спина. В пер-
вом порядке теории возмущений поправка к энергии за счет взаимодействия равна
^Es = Jdrl dr2 |Ф5(гь г2)|2 И (г, -г2) = А ±J, (5.249)
где
A =fdrx dr2 \ч>1 (г,)|2 |*2 (г2)|2 V(г, -т2),
(5.250)
J = Sdrl dr2 ч>1 (г,)<р2 (г,) «р, (г2) <р2* (г,) К(г, — г2) ;
знак минус в (5.249) соответствует5 = 1, а плюс-5 = 0. Можно ввести оператор полного спина
г - л л
S - Si + J2 , квадрат которого равен 5 (5 + 1):
5 (5 + 1) = 5,2 +522 + 25, j2 = Й (й + 1) 2 + 25, j2 = 3t2 + 25, s2 . (5.251)
Отсюда следует, что оператор с собственными значениями —1 для 5 = 1 и +1 для 5 = 0 может быть представлен в виде
Р= 1 -5(5 + 1)= -54(1 +4j,52 ). (5.252)
Тогда выражение (5.249) можно представить в виде
ДЛ' = Л-ЙУ- 2*,*2 . (5.253)
Итак, антисимметричность полной волновой функции системы двух взаимодействующих электронов приводит к зависимости энергии от взаимной ориентации спинов вида (5.253) (П. Дирак, 1929). Это взаимодействие, называемое обменным, значительно превышает магнитное диполь-диполь-ное взаимодействие спиновых моментов, которое пропорционально (и /с)2, где и — средняя скорость электронов, с — скорость света в вакууме. Гипотеза об обменной природе сил, ответственных за магнитное упорядочение, была высказана независимо Я.И. Френкелем и В. Гайзенбергом (1928). Для системы многих электронов зависящая от спина часть гамильтониана
323
взаимодеиствия записывается в виде
3fo0 = -Z'V,Jk. (5.254)
ik
где сумма берется по всем электронам. Выражение (5.254) — самое общее, которое можно построить из операторов спина при учете только парных спиновых взаимодействий для спина 1 /2, ибо sj = 3/4 и никаких функций, кроме линейной, из 5,- 5* построить нельзя.
К выражениям же типа (5.250) и ему подобным не стоит относиться слишком серьезно. Во-первых, взаимодействие не всегда можно учитывать по теории возмущений, а, во-вторых, существуют вклады в J совершенно другой природы. Рассмотрим кратко так называемый кинетический обмен.
Пусть у нас два электрона находятся на двух соседних узлах в невырожденном орбитальном состоянии (рис. 5.13). Энергия отталкивания двух электронов на одном узле больше, чем на разных, на величину U, а матричный элемент гамильтониана, отвечающий переходам электрона с узла на узел (в возбужденное состояние) Тогда для антипараллельной ориента-
ции спинов (рис. 5.13, а) такой виртуальный процесс, учтенный во втором порядке теории возмущений, понижает энергию системы на2/J2/f7(двойка здесь появилась из-за вклада двух электронных переходов), а для параллельной ориентации (рис. 5.13, б) он запрещен. Соответствующий вклад в обменный интеграл равен полуразности энергий при разных ориентациях спина:
